두 벡터가 평행할 때 내적 값은 두 벡터의 크기의 곱과 같습니다. 즉, 벡터 a와 벡터 b가 평행하고 같은 방향일 경우, 내적 a · b = |a| |b|가 됩니다. 만약 두 벡터가 평행하지만 서로 반대 방향일 경우에는 a · b = -|a| |b|가 됩니다. 이는 내적의 정의에서 각도에 따른 코사인 값이 각각 1 또는 -1이 되기 때문입니다.
벡터 내적의 정의
벡터 a와 벡터 b의 내적은 다음과 같이 정의됩니다.
a · b = |a| |b| cos θ
여기서 |a|는 벡터 a의 크기, |b|는 벡터 b의 크기, θ는 두 벡터가 이루는 각도입니다.
평행한 두 벡터의 내적
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같은 방향으로 평행할 때: 두 벡터가 같은 방향으로 평행하면 두 벡터가 이루는 각도 θ는 0도입니다. cos 0° = 1이므로, 내적은 다음과 같습니다.
a · b = |a| |b| cos 0° = |a| |b| * 1 = |a| |b|
즉, 두 벡터의 크기의 곱과 같습니다.
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반대 방향으로 평행할 때: 두 벡터가 반대 방향으로 평행하면 두 벡터가 이루는 각도 θ는 180°입니다. cos 180° = -1이므로, 내적은 다음과 같습니다.
a · b = |a| |b| cos 180° = |a| |b| * (-1) = -|a| |b|
즉, 두 벡터 크기 곱의 음수 값이 됩니다.
결론
따라서 두 벡터가 평행하다는 조건만으로는 내적 값이 양수인지 음수인지, 혹은 0인지 알 수 없습니다. 두 벡터가 같은 방향으로 평행한지, 아니면 반대 방향으로 평행한지에 따라 내적 값은 달라집니다. 만약 두 벡터 중 하나라도 영벡터라면, 두 벡터가 평행하더라도 내적 값은 항상 0이 됩니다. 이는 영벡터의 크기가 0이기 때문입니다.