두 직선 $2x-y+1=0$과 $2x-y-9=0$ 사이의 거리를 구하는 문제는 두 직선이 평행할 때 적용되는 공식을 이해하면 쉽게 풀 수 있습니다. 이 문제는 고등학교 수학 과정에서 다루는 내용으로, 두 평행선 사이의 거리를 구하는 일반적인 공식과 함께 실제 예제를 통해 자세히 알아보겠습니다.
평행선 사이의 거리 공식
두 직선이 평행하다는 것은 기울기가 같다는 것을 의미합니다. 일반적인 두 직선의 방정식은 $Ax+By+C_1=0$과 $Ax+By+C_2=0$의 형태로 나타낼 수 있습니다. 이때 두 직선이 평행하다면, $A$와 $B$의 값은 같아야 합니다. 만약 다르다면, 한쪽 방정식에 상수를 곱하여 $A$와 $B$를 같게 만들어야 합니다.
두 평행선 $Ax+By+C_1=0$과 $Ax+By+C_2=0$ 사이의 거리를 $d$라고 할 때, 그 공식은 다음과 같습니다:
$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
이 공식은 두 직선 중 한 직선 위의 임의의 점과 다른 직선 사이의 최단 거리를 구하는 원리에서 파생됩니다. 분자는 두 직선의 상수항의 차이의 절댓값이고, 분모는 직선의 계수 $A$와 $B$의 제곱합의 제곱근입니다.
문제 적용 및 풀이
주어진 두 직선의 방정식은 다음과 같습니다:
- $2x-y+1=0$
- $2x-y-9=0$
이 두 직선은 모두 $Ax+By+C=0$ 형태이며, $A=2$, $B=-1$로 계수가 일치합니다. 따라서 두 직선은 평행합니다.
이 경우, $C_1 = 1$이고 $C_2 = -9$입니다.
이제 위에서 설명한 공식을 사용하여 두 직선 사이의 거리를 계산해 보겠습니다:
$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
$d = \frac{|1 - (-9)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|1 + 9|}{\sqrt{4 + 1}}$
$d = \frac{|10|}{\sqrt{5}}$
$d = \frac{10}{\sqrt{5}}$
분모의 무리수를 유리화하기 위해 분모와 분자에 $\sqrt{5}$를 곱합니다:
$d = \frac{10\sqrt{5}}{5}$
$d = 2\sqrt{5}$
따라서 두 직선 $2x-y+1=0$과 $2x-y-9=0$ 사이의 거리는 $2\sqrt{5}$입니다.
추가 예시: 계수가 다른 경우
만약 두 직선의 방정식이 $2x-y+1=0$과 $4x-2y-18=0$과 같이 $A$와 $B$의 계수가 다르다면, 먼저 한쪽 방정식을 변형하여 계수를 같게 만들어야 합니다. 예를 들어, 두 번째 방정식 $4x-2y-18=0$의 모든 항을 2로 나누면 $2x-y-9=0$이 됩니다. 이렇게 변형한 후 위에서 사용한 공식을 적용하면 됩니다.
결론
평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 것은 직선의 방정식을 $Ax+By+C=0$ 형태로 통일하고, $A$와 $B$ 값을 확인한 뒤, 상수항 $C_1, C_2$와 $A, B$ 값을 공식 $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$에 대입하여 계산하면 됩니다. 이 방법을 통해 복잡해 보이는 문제도 체계적으로 해결할 수 있습니다.