(a+b+c)³ 전개와 a³+b³+c³ 공식 유도
(a+b+c)의 세제곱 전개는 복잡해 보일 수 있지만, 차근차근 유도하면 a³+b³+c³을 구하는 공식을 쉽게 이해할 수 있습니다. 이 공식은 고등학교 수학 과정에서 자주 등장하며, 다양한 수학 문제 해결에 활용됩니다. 본 글에서는 (a+b+c)³의 전개를 통해 a³+b³+c³을 구하는 공식을 명확하게 설명하고, 관련 예시를 통해 이해를 돕고자 합니다.
(a+b+c)³의 전개
먼저 (a+b+c)³을 전개해 봅시다. 이를 위해 (a+b+c)²을 먼저 계산한 후, 여기에 다시 (a+b+c)를 곱하는 방식을 사용할 수 있습니다.
(a+b+c)² = (a+b)² + 2c(a+b) + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
이제 여기에 (a+b+c)를 곱합니다.
(a+b+c)³ = (a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca)(a+b+c)
각 항을 분배하여 전개하면 다음과 같습니다.
a(a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca) = a³ + ab² + ac² + 2a²b + 2abc + 2ca² b(a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca) = a²b + b³ + bc² + 2ab² + 2b²c + 2abc c(a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca) = a²c + b²c + c³ + 2abc + 2bc² + 2ca²
이 모든 항을 더하면 다음과 같은 복잡한 식이 나옵니다.
a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3c²a + 3ca² + 6abc
따라서 (a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a²b + ab² + b²c + bc² + c²a + ca²) + 6abc 입니다.
a³+b³+c³ 공식 유도
위에서 전개한 식에서 a³+b³+c³ 항만 남기기 위해 식을 변형해 보겠습니다. 3(a²b + ab² + b²c + bc² + c²a + ca²) 부분을 다음과 같이 묶을 수 있습니다.
3(a²b + ab² + b²c + bc² + c²a + ca²) = 3ab(a+b) + 3bc(b+c) + 3ca(c+a)
또한, (a+b+c) = S 라고 하면, a+b = S-c, b+c = S-a, c+a = S-b 로 표현할 수 있습니다.
이를 대입하면 다음과 같습니다.
3ab(S-c) + 3bc(S-a) + 3ca(S-b) = 3abS - 3abc + 3bcS - 3abc + 3caS - 3abc = 3S(ab+bc+ca) - 9abc
이제 (a+b+c)³ 전개식에 대입하면:
(a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3S(ab+bc+ca) - 9abc + 6abc (a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3S(ab+bc+ca) - 3abc
여기서 S = (a+b+c) 이므로:
(a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a+b+c)(ab+bc+ca) - 3abc
이제 이 식을 a³+b³+c³에 대해 정리하면 됩니다.
a³ + b³ + c³ = (a+b+c)³ - 3(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc
이것이 바로 (a+b+c)³ 전개로부터 유도된 a³+b³+c³을 구하는 공식입니다.
특별한 경우: a+b+c = 0
만약 a+b+c = 0 이라는 조건이 주어진다면, 공식은 훨씬 간단해집니다. 위에서 유도된 공식에서 (a+b+c) 항이 0이 되므로:
a³ + b³ + c³ = (0)³ - 3(0)(ab+bc+ca) + 3abc a³ + b³ + c³ = 0 - 0 + 3abc
따라서, a+b+c = 0 이면, a³ + b³ + c³ = 3abc 라는 매우 유용한 공식을 얻게 됩니다. 이 공식은 인수분해 문제 등에서 자주 활용됩니다.
예시
예시 1: a=1, b=2, c=3 일 때, a³+b³+c³의 값을 구하시오.
먼저 a+b+c = 1+2+3 = 6 입니다. ab+bc+ca = (1)(2) + (2)(3) + (3)(1) = 2 + 6 + 3 = 11 입니다.
공식을 사용하면: a³+b³+c³ = (a+b+c)³ - 3(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc = (6)³ - 3(6)(11) + 3(1)(2)(3) = 216 - 18(11) + 18 = 216 - 198 + 18 = 18 + 18 = 36
직접 계산해보면 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 으로 결과가 일치합니다.
예시 2: a+b+c = 0 이고, a=2, b=-1, c=-1 일 때, a³+b³+c³의 값을 구하시오.
이 경우 a+b+c = 2 + (-1) + (-1) = 0 이므로, 간단한 공식을 사용할 수 있습니다. a³ + b³ + c³ = 3abc = 3(2)(-1)(-1) = 6
직접 계산해보면 2³ + (-1)³ + (-1)³ = 8 + (-1) + (-1) = 8 - 2 = 6 으로 결과가 일치합니다.
결론
(a+b+c)³의 전개를 통해 a³+b³+c³을 구하는 공식은 a³ + b³ + c³ = (a+b+c)³ - 3(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc 입니다. 특히 a+b+c = 0 일 때는 a³ + b³ + c³ = 3abc 라는 간단한 공식이 성립합니다. 이 공식들을 잘 이해하고 활용하면 대수 문제 해결에 큰 도움이 될 것입니다.