n-13÷5n+6, 약분되는 자연수 n은? (기약분수 만들기)
분수 $\frac{n-13}{5n+6}$가 약분된다는 것은, 분자와 분모에 공통인 약수가 존재한다는 의미입니다. 즉, 기약분수가 아니라는 뜻이죠. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 분자와 분모를 동시에 나누어떨어지게 하는 정수 $k$를 찾아야 합니다. 즉, 다음과 같은 두 식을 만족하는 $n$을 찾는 것입니다.
$n-13 = ak$ $5n+6 = bk$
여기서 $a$와 $b$는 정수입니다.
공통 약수를 이용한 접근
두 식에서 $n$을 소거하기 위해 첫 번째 식에 5를 곱하면 $5(n-13) = 5ak$가 됩니다. 이를 전개하면 $5n - 65 = 5ak$가 됩니다. 이제 이 식에서 원래의 두 번째 식 $5n+6 = bk$를 빼보겠습니다.
$(5n - 65) - (5n + 6) = 5ak - bk$ $-71 = (5a - b)k$
이 결과는 $-71$이 $k$의 배수라는 것을 의미합니다. 즉, $k$는 $-71$의 약수여야 합니다. $-71$의 약수는 $\pm 1, \pm 71$입니다.
분수 $\frac{n-13}{5n+6}$가 약분되려면 분자와 분모의 공통 약수 $k$가 $\pm 1$이 아닌 다른 값이어야 합니다. 따라서 $k$는 $\pm 71$ 중 하나가 되어야 합니다.
가능한 $k$ 값 대입 및 $n$ 값 구하기
1. $k = 71$인 경우:
$n-13$이 71의 배수이므로, $n-13 = 71m$ (여기서 $m$은 정수)으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 $n = 71m + 13$입니다.
이것을 두 번째 식 $5n+6$에 대입하면 다음과 같습니다.
$5(71m + 13) + 6 = 355m + 65 + 6 = 355m + 71$
이 값 역시 71의 배수($71(5m+1)$)가 됩니다. 따라서 $k=71$은 공통 약수가 될 수 있습니다.
이제 $n$이 자연수가 되도록 하는 $m$ 값을 찾아야 합니다. $n = 71m + 13$에서 $n$이 자연수이려면 $m gtr 0$이어야 합니다.
- $m=0$일 때, $n = 13$. 분모 $5n+6 = 5(13)+6 = 65+6 = 71$. 분자 $n-13 = 13-13 = 0$. 분수는 $\frac{0}{71}=0$이므로 약분됩니다.
- $m=1$일 때, $n = 71(1) + 13 = 84$. 분모 $5n+6 = 5(84)+6 = 420+6 = 426$. 분자 $n-13 = 84-13 = 71$. 분수는 $\frac{71}{426} = \frac{71}{6 imes 71}$이므로 약분됩니다.
2. $k = -71$인 경우:
$n-13$이 $-71$의 배수이므로, $n-13 = -71m$ (여기서 $m$은 정수)으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 $n = -71m + 13$입니다.
이것을 두 번째 식 $5n+6$에 대입하면 다음과 같습니다.
$5(-71m + 13) + 6 = -355m + 65 + 6 = -355m + 71$
이 값은 $-71(5m-1)$이 되어 $-71$의 배수가 됩니다. 따라서 $k=-71$도 공통 약수가 될 수 있습니다.
이제 $n$이 자연수가 되도록 하는 $m$ 값을 찾아야 합니다. $n = -71m + 13$에서 $n$이 자연수이려면 $-71m + 13 > 0$이어야 합니다. 즉, $71m < 13$이어야 합니다.
- $m=0$일 때, $n = 13$. (위와 동일한 경우)
- $m=-1$일 때, $n = -71(-1) + 13 = 71 + 13 = 84$. (위와 동일한 경우)
결론: 약분되는 자연수 $n$
따라서 분수 $\frac{n-13}{5n+6}$가 약분되도록 하는 자연수 $n$은 $n=13$ 또는 $n=84$입니다. 이 외에도 $n = 71m + 13$ (단, $m$은 0 이상의 정수) 또는 $n = -71m + 13$ (단, $m$은 0 이하의 정수) 꼴의 자연수 $n$ 값들이 존재합니다. 예를 들어 $m=2$일 때 $n = 71(2) + 13 = 155$ 등도 가능합니다.