세 꼭지점의 좌표를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 가장 대표적인 방법은 '신발끈 공식' 또는 '사선 공식'이라고 불리는 공식을 이용하는 것입니다. 이 공식은 다각형의 넓이를 구할 때도 확장하여 사용할 수 있을 정도로 유용합니다.
신발끈 공식 (사선 공식) 활용하기
세 꼭지점의 좌표를 각각 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$라고 할 때, 삼각형의 넓이 $A$는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$A = \frac{1}{2} |x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1)|$
이 공식을 '신발끈' 모양과 비슷하게 좌표를 나열하고 대각선 방향으로 곱한 후 빼는 방식이라고 하여 신발끈 공식이라고 부릅니다. 계산 과정을 좀 더 쉽게 이해하기 위해 다음과 같이 좌표를 나열해 보세요.
$x_1 \quad y_1$ $x_2 \quad y_2$ $x_3 \quad y_3$ $x_1 \quad y_1$ (처음 좌표를 다시 한번 씁니다.)
이제 대각선 방향으로 곱합니다.
- 오른쪽 아래로 향하는 대각선 곱의 합: $x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1$
- 왼쪽 아래로 향하는 대각선 곱의 합: $y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1$
이 두 합의 차이의 절댓값을 구한 뒤 2로 나누면 삼각형의 넓이가 됩니다. 여기서 절댓값을 취하는 이유는 넓이는 항상 양수여야 하기 때문입니다.
예시를 통한 이해
세 꼭지점의 좌표가 A(1, 2), B(4, 5), C(7, 1)이라고 가정해 봅시다. 이 삼각형의 넓이를 신발끈 공식을 사용하여 구해 보겠습니다.
좌표를 나열하면 다음과 같습니다.
$1 \quad 2$ $4 \quad 5$ $7 \quad 1$ $1 \quad 2$
- 오른쪽 아래 대각선 곱의 합: $(1 \times 5) + (4 \times 1) + (7 \times 2) = 5 + 4 + 14 = 23$
- 왼쪽 아래 대각선 곱의 합: $(2 \times 4) + (5 \times 7) + (1 \times 1) = 8 + 35 + 1 = 44$
이제 두 합의 차이의 절댓값을 구합니다: $|23 - 44| = |-21| = 21$
마지막으로 이 값을 2로 나눕니다: $21 / 2 = 10.5$
따라서 이 삼각형의 넓이는 10.5입니다.
벡터 외적을 이용하는 방법 (고등학교 과정)
좌표 기하학을 조금 더 깊이 있게 다루는 경우, 벡터의 외적(cross product) 개념을 사용하여 삼각형의 넓이를 구할 수도 있습니다. 두 벡터 $\vec{AB}$와 $\vec{AC}$를 생각했을 때, 이 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이는 두 벡터의 외적의 크기와 같습니다. 삼각형의 넓이는 이 평행사변형 넓이의 절반이 됩니다.
먼저 두 벡터를 구합니다. $,\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ $,\vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1)$
이 두 벡터의 외적 (2차원에서는 성분 형태로 표현)의 크기는 다음과 같습니다. $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = |(x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_1)|$
삼각형 ABC의 넓이 $A$는 이 값의 절반입니다. $A = \frac{1}{2} |(x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_1)|$
이 공식은 신발끈 공식과 동일한 결과를 제공하며, 벡터 개념에 익숙하다면 더 직관적으로 이해할 수 있습니다. 역시 넓이는 양수이므로 절댓값을 사용합니다.
기타 방법 (행렬식 이용)
행렬식을 이용하는 방법도 신발끈 공식과 매우 유사합니다. 세 꼭지점의 좌표를 이용하여 다음과 같은 행렬식을 구성하고 그 절댓값을 2로 나눌 수 있습니다.
$A = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|$
이 행렬식을 계산하면 신발끈 공식과 같은 결과가 나옵니다. 행렬식 계산은 다음과 같습니다. $,\det = x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + 1(x_2y_3 - y_2x_3)$
이것을 정리하면 신발끈 공식의 형태와 같아짐을 확인할 수 있습니다.
결론
세 꼭지점의 좌표를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 가장 실용적이고 널리 사용되는 방법은 신발끈 공식입니다. 이 공식은 계산이 비교적 간단하며, 어떤 삼각형이든 적용 가능합니다. 벡터 외적이나 행렬식을 이용하는 방법은 수학적으로 더 깊이 있는 이해를 돕지만, 실질적인 계산에서는 신발끈 공식이 더 편리할 수 있습니다. 어떤 방법을 사용하든, 넓이는 항상 양수이므로 최종 결과의 절댓값을 취하는 것을 잊지 마세요.