xy 평면에서 세 점의 좌표를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 여러 가지가 있습니다. 가장 일반적이고 활용도가 높은 두 가지 방법을 소개해 드리겠습니다.
좌표를 이용한 삼각형 넓이 공식 (신발끈 공식)
세 점의 좌표가 각각 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$일 때, 삼각형의 넓이 $A$는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
이 공식은 '신발끈 공식'이라고도 불리는데, 좌표를 나열하고 대각선 방향으로 곱한 값들의 합과 차를 이용하기 때문에 붙여진 이름입니다. 계산 과정을 시각적으로 이해하기 쉽도록 나열하면 다음과 같습니다.
-
세 점의 좌표를 순서대로 나열합니다. 이때 첫 번째 점의 좌표를 마지막에 한 번 더 씁니다. $(x_1, y_1)$ $(x_2, y_2)$ $(x_3, y_3)$ $(x_1, y_1)$
-
대각선 방향으로 곱한 값들을 더합니다. $(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1)$
-
반대 방향 대각선으로 곱한 값들을 더합니다. $(y_1 x_2 + y_2 x_3 + y_3 x_1)$
-
두 합의 차에 절댓값을 취하고 1/2을 곱합니다. $A = \frac{1}{2} |(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1) - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + y_3 x_1)|$
이 공식은 어떤 순서로 점을 나열해도 결과는 동일하며, 넓이는 항상 양수이므로 절댓값을 사용합니다.
밑변과 높이를 이용한 삼각형 넓이 공식
이 방법은 두 점을 잇는 직선을 밑변으로 설정하고, 나머지 한 점과 밑변 직선 사이의 거리를 높이로 구하는 방식입니다. 이 방법은 계산 과정이 다소 복잡할 수 있습니다.
-
밑변 길이 계산: 두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$ 사이의 거리를 계산합니다. 이는 두 점 사이의 거리 공식 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$을 사용합니다.
-
밑변을 포함하는 직선의 방정식 구하기: 두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$를 지나는 직선의 방정식을 구합니다. 기울기 $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$을 이용하여 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 형태로 나타낼 수 있습니다.
-
점과 직선 사이의 거리 계산 (높이): 점 $(x_3, y_3)$과 위에서 구한 직선 $Ax + By + C = 0$ 사이의 거리를 계산합니다. 높이 $h$는 다음과 같습니다. $h = \frac{|Ax_3 + By_3 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
-
삼각형 넓이 계산: 밑변 길이와 높이를 곱한 후 2로 나눕니다. $A = \frac{1}{2} \times \text{밑변 길이} \times h$
이 방법은 신발끈 공식에 비해 계산 단계가 많지만, 기하학적인 이해를 돕는다는 장점이 있습니다.
예시
세 점이 A(1, 2), B(3, 5), C(6, 1)이라고 가정해 보겠습니다. 신발끈 공식을 사용하여 넓이를 구해 봅시다.
$(x_1, y_1) = (1, 2)$ $(x_2, y_2) = (3, 5)$ $(x_3, y_3) = (6, 1)$
$A = \frac{1}{2} |1(5 - 1) + 3(1 - 2) + 6(2 - 5)|$ $A = \frac{1}{2} |1(4) + 3(-1) + 6(-3)|$ $A = \frac{1}{2} |4 - 3 - 18|$ $A = \frac{1}{2} |-17|$ $A = \frac{17}{2} = 8.5$
따라서 이 세 점으로 이루어진 삼각형의 넓이는 8.5입니다.