고등학교 수학에서 자주 등장하는 곱셈 공식 중 네 가지, 바로 (a+b)^3, (a-b)^3, a^3+b^3, a^3-b^3에 대해 자세히 알아보겠습니다. 이 공식들은 다항식의 전개 및 인수분해에서 매우 중요하게 활용되므로 정확히 이해하고 있어야 합니다.
(a+b)^3 공식
(a+b)^3은 'a+b'를 세 번 곱한 것을 의미합니다. 이는 이항 정리를 이용하여 전개할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻습니다.
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
이 공식을 유도하는 방법은 두 가지가 있습니다. 첫째, (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 임을 이용하여 (a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 로 생각하여 전개하는 것입니다. 둘째, 파스칼의 삼각형을 이용하는 방법입니다. (a+b)^n 에서 각 항의 계수는 파스칼의 삼각형에서 n+1번째 줄의 숫자를 따르는데, n=3일 때 계수는 1, 3, 3, 1이 됩니다. 따라서 (a+b)^3 = 1a^3b^0 + 3a^2b^1 + 3a^1b^2 + 1a^0b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 이 됩니다.
(a-b)^3 공식
(a-b)^3은 (a+b)^3 공식에서 b 대신 -b를 대입하여 얻을 수 있습니다. 따라서 다음과 같은 공식을 얻습니다.
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
이 공식 역시 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 임을 이용하여 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 로 생각하여 전개하거나, (a+b)^3 공식에서 b에 -b를 대입하여 유도할 수 있습니다. b에 -b를 대입하면 a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 이 됩니다.
a^3+b^3 공식 (인수분해)
a^3+b^3은 두 항의 세제곱의 합을 나타내며, 이는 다음과 같이 인수분해됩니다.
a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
이 공식은 위에서 배운 (a+b)^3 공식을 변형하여 유도할 수 있습니다. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 에서 a^3+b^3 항만 남기기 위해 3a^2b + 3ab^2 항을 이항하면 다음과 같습니다.
a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3a^2b - 3ab^2
우변의 -3a^2b - 3ab^2 항에서 공통인수 -3ab를 묶어내면 -3ab(a+b)가 됩니다. 따라서
a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)
여기서 공통인수 (a+b)로 묶어내면
a^3+b^3 = (a+b){(a+b)^2 - 3ab}
괄호 안의 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 를 대입하면
a^3+b^3 = (a+b){(a^2 + 2ab + b^2) - 3ab}
a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
이 됩니다.
a^3-b^3 공식 (인수분해)
a^3-b^3은 두 항의 세제곱의 차를 나타내며, 다음과 같이 인수분해됩니다.
a^3-b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
이 공식 역시 a^3+b^3 공식을 변형하여 유도할 수 있습니다. a^3-b^3은 a^3+(-b)^3 으로 볼 수 있으므로, a^3+b^3 공식에서 b 대신 -b를 대입하면 됩니다. 따라서
a^3+(-b)^3 = (a+(-b))(a^2 - a(-b) + (-b)^2)
a^3-b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
이 됩니다. 또는 (a-b)^3 공식을 변형하여 유도할 수도 있습니다. (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 에서 a^3-b^3 항만 남기기 위해 -3a^2b + 3ab^2 항을 이항하면 다음과 같습니다.
a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3a^2b - 3ab^2
우변의 3a^2b - 3ab^2 항에서 공통인수 3ab를 묶어내면 3ab(a-b)가 됩니다. 따라서
a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)
여기서 공통인수 (a-b)로 묶어내면
a^3-b^3 = (a-b){(a-b)^2 + 3ab}
괄호 안의 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 를 대입하면
a^3-b^3 = (a-b){(a^2 - 2ab + b^2) + 3ab}
a^3-b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
이 됩니다.
이 네 가지 공식은 대수학의 기본이 되는 공식들이므로, 반복적인 연습을 통해 완벽하게 암기하고 다양한 문제에 적용하는 연습을 하는 것이 중요합니다. 특히 인수분해 문제는 이 공식들을 활용하는 경우가 많으므로, 전개와 인수분해를 자유자재로 할 수 있도록 익숙해지는 것이 좋습니다.