수학 문제는 주어진 조건과 구하고자 하는 값을 명확히 파악하는 것이 중요합니다. 특히, 대수 문제에서는 주어진 식을 간단히 하거나, 곱셈 공식을 활용하여 값을 구하는 경우가 많습니다. 오늘 다룰 문제는 두 가지 경우로 나뉘며, 각각 다른 접근 방식을 통해 해답을 찾을 수 있습니다. 복잡해 보이는 식도 기본적인 원리를 적용하면 쉽게 해결될 수 있음을 보여드릴 것입니다.
첫 번째 문제에서는 $a+b=2$이고 $ab=1$일 때, $a^2(a+b)+b^2(b+a)$의 값을 구해야 합니다. 주어진 식을 먼저 살펴봅시다. $a^2(a+b)+b^2(b+a)$에서 공통 인수인 $(a+b)$를 묶어낼 수 있습니다. 즉, $(a+b)(a^2+b^2)$로 변형할 수 있습니다. 이제 우리는 $(a+b)$와 $(a^2+b^2)$의 값을 알아야 합니다. 문제에서 $a+b=2$라는 정보가 주어졌으므로, 이제 $a^2+b^2$의 값만 구하면 됩니다. 곱셈 공식 $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$을 활용하면, $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$임을 알 수 있습니다. 여기에 주어진 $a+b=2$와 $ab=1$을 대입하면, $a^2+b^2 = (2)^2 - 2(1) = 4 - 2 = 2$가 됩니다. 따라서, $a^2(a+b)+b^2(b+a) = (a+b)(a^2+b^2) = (2)(2) = 4$가 됩니다.
두 번째 문제는 $a-b=3$이고 $ab=-2$일 때, $a^2+ab+b^2$의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제에서도 곱셈 공식을 적극적으로 활용해야 합니다. 구하고자 하는 식은 $a^2+ab+b^2$입니다. 이 식을 $(a-b)^2$과 연관 지어 생각해보겠습니다. 곱셈 공식 $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$을 이용하면, $a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$임을 알 수 있습니다. 이제 구하고자 하는 식 $a^2+ab+b^2$은 $a^2+b^2$에 $ab$를 더한 것과 같습니다. 따라서, $a^2+ab+b^2 = (a^2+b^2) + ab = ((a-b)^2 + 2ab) + ab = (a-b)^2 + 3ab$로 변형할 수 있습니다. 문제에서 주어진 $a-b=3$과 $ab=-2$를 이 식에 대입하면, $a^2+ab+b^2 = (3)^2 + 3(-2) = 9 - 6 = 3$이 됩니다. 따라서, $a^2+ab+b^2$의 값은 3입니다.
이 두 가지 문제를 통해 우리는 기본적인 곱셈 공식을 변형하고 적용하는 능력이 대수 문제 해결에 얼마나 중요한지 다시 한번 확인할 수 있었습니다. 첫 번째 문제에서는 $(a+b)$를 공통 인수로 묶어내는 과정과 $(a+b)^2$ 공식을 활용하여 $a^2+b^2$을 구하는 것이 핵심이었습니다. 두 번째 문제에서는 $(a-b)^2$ 공식을 활용하여 $a^2+b^2$을 구하고, 이를 바탕으로 $a^2+ab+b^2$의 값을 계산하는 과정이 중요했습니다. 이처럼 주어진 조건을 활용하여 구하고자 하는 식을 간단한 형태로 변형하는 연습을 꾸준히 한다면, 다양한 수학 문제에 자신감을 가지고 접근할 수 있을 것입니다. 앞으로도 이러한 유형의 문제들을 접했을 때, 당황하지 않고 차분하게 식을 분석하고 적절한 공식을 떠올리는 연습을 해나가시길 바랍니다.