주어진 다항식 ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc 를 인수분해하는 과정은 대수학에서 중요한 기본기 중 하나입니다. 이 문제는 다항식을 전개하고 공통 인수를 찾아 묶는 과정을 통해 해결할 수 있습니다. 복잡해 보이는 식도 차근차근 단계를 밟아가면 명확한 해답을 얻을 수 있습니다.
먼저, 주어진 식을 전개하여 각 항을 풀어서 써보겠습니다. ab(a+b) = a^2b + ab^2 bc(b+c) = b^2c + bc^2 ca(c+a) = c^2a + ca^2
이제 이 전개된 항들과 마지막 항 2abc 를 모두 더하면 다음과 같습니다. (a^2b + ab^2) + (b^2c + bc^2) + (c^2a + ca^2) + 2abc
이 식을 다시 정리하면 다음과 같은 형태가 됩니다. a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc
이 식에서 공통 인수를 찾기 위해 항들을 재배열해 보겠습니다. 특히 a에 대한 내림차순으로 정리하면 인수분해의 실마리를 잡기 용이합니다. a^2b + c^2a + ab^2 + ca^2 + b^2c + bc^2 + 2abc
a에 대한 내림차순으로 정리하면 다음과 같습니다. a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + (b^2c + bc^2)
여기서 중간 항의 (b^2 + c^2 + 2bc) 부분이 (b+c)^2 으로 인수분해됨을 알 수 있습니다. 또한, 마지막 항 (b^2c + bc^2)은 bc(b+c)로 묶을 수 있습니다.
이를 적용하면 식은 다음과 같이 변형됩니다. a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)
이제 각 항에 공통적으로 (b+c)라는 인수가 있음을 확인할 수 있습니다. 따라서 (b+c)로 묶어내면 다음과 같습니다. (b+c) [a^2 + a(b+c) + bc]
괄호 안의 식을 다시 살펴보겠습니다. a^2 + a(b+c) + bc
이 식 또한 a에 대한 이차식으로 볼 수 있으며, 전개하면 다음과 같습니다. a^2 + ab + ac + bc
이 식에서 다시 공통 인수를 찾아 묶을 수 있습니다. a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b)
여기서 (a+b)라는 공통 인수가 나오므로, 괄호 안의 식은 (a+b)(a+c)로 인수분해됩니다.
따라서 최종적으로 원래의 복잡했던 다항식은 다음과 같이 인수분해됩니다. (b+c)(a+b)(a+c)
이것을 일반적으로 순서대로 나열하면 (a+b)(b+c)(c+a)가 됩니다.
이러한 인수분해 과정은 다항식의 구조를 이해하고, 공통 인수를 효과적으로 찾아내는 능력을 키우는 데 도움이 됩니다. 특히 대칭성을 가지는 다항식의 경우, 특정 변수에 대한 내림차순 정리가 유용한 경우가 많습니다.