미분은 함수의 순간적인 변화율을 구하는 과정입니다. 다항함수와 지수함수가 곱해진 형태인 $x^3e^{2x}$의 미분은 곱의 미분법을 사용하여 계산할 수 있습니다. 곱의 미분법은 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 곱을 미분할 때, $$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
이 공식을 적용하기 위해, $f(x) = x^3$이고 $g(x) = e^{2x}$라고 두겠습니다. 먼저 각 함수의 도함수를 구합니다.
$f(x) = x^3$을 미분하면, 지수 법칙에 따라 $f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$이 됩니다.
$g(x) = e^{2x}$를 미분하기 위해서는 연쇄 법칙(Chain Rule)을 사용해야 합니다. 연쇄 법칙은 합성함수를 미분할 때 사용되며, $$(h(k(x)))' = h'(k(x)) imes k'(x)$$
여기서 $h(u) = e^u$이고 $k(x) = 2x$입니다. $h(u)$를 $u$에 대해 미분하면 $h'(u) = e^u$이고, $k(x)$를 $x$에 대해 미분하면 $k'(x) = 2$입니다. 따라서 $g'(x) = e^{2x} imes 2 = 2e^{2x}$가 됩니다.
이제 곱의 미분법 공식에 $f(x), f'(x), g(x), g'(x)$를 대입합니다.
$$(x^3e^{2x})' = (3x^2)(e^{2x}) + (x^3)(2e^{2x})$$
계산 결과를 정리하면 다음과 같습니다.
$$(x^3e^{2x})' = 3x^2e^{2x} + 2x^3e^{2x}$$
이 식에서 공통 인수 $x^2e^{2x}$로 묶어낼 수 있습니다.
$$(x^3e^{2x})' = x^2e^{2x}(3 + 2x)$$
따라서 $x^3e^{2x}$를 미분한 결과는 $x^2e^{2x}(3 + 2x)$입니다. 이 결과는 함수의 특정 지점에서의 기울기를 나타내며, 그래프의 개형을 파악하거나 최댓값, 최솟값을 찾는 데 활용될 수 있습니다.