다항식 (x-a)(x-b)(x-c)를 전개하는 방법은 차근차근 곱셈을 진행하면 어렵지 않게 해결할 수 있습니다. 이 다항식은 고등학교 수학의 다항식 파트에서 자주 등장하며, 근과 계수의 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 합니다. 특히, 3차 방정식의 근과 계수의 관계를 유도하거나 이해하는 데 필수적인 개념입니다.
(x-a)(x-b)(x-c) 전개 과정
먼저, 두 개의 항부터 곱해봅시다. (x-a)(x-b)를 전개하면 다음과 같습니다.
(x-a)(x-b) = x² - bx - ax + ab = x² - (a+b)x + ab
이제 이 결과에 (x-c)를 곱합니다.
각 항을 분배법칙을 이용하여 곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
x * [x² - (a+b)x + ab] - c * [x² - (a+b)x + ab]
= (x³ - (a+b)x² + abx) - (cx² - c(a+b)x + abc)
= x³ - (a+b)x² + abx - cx² + c(a+b)x - abc
이제 동류항끼리 묶어서 정리합니다.
= x³ - (a+b+c)x² + (ab + ac + bc)x - abc
따라서, (x-a)(x-b)(x-c)를 전개한 결과는 다음과 같습니다.
x³ - (a+b+c)x² + (ab + ac + bc)x - abc
근과 계수의 관계와의 연관성
위에서 전개한 식은 3차 방정식의 근과 계수의 관계와 직접적으로 연결됩니다. 만약 어떤 3차 방정식이 세 근을 α, β, γ라고 한다면, 이 방정식은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다.
a(x-α)(x-β)(x-γ) = 0
여기서 최고차항의 계수가 1이라고 가정하면, (x-α)(x-β)(x-γ) = 0 이 됩니다. 위에서 전개한 식을 이용하면 다음과 같습니다.
x³ - (α+β+γ)x² + (αβ + αγ + βγ)x - αβγ = 0
이 식과 일반적인 3차 방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0 (여기서는 a=1로 가정)을 비교하면, 다음과 같은 근과 계수의 관계를 얻을 수 있습니다.
- 세 근의 합: α + β + γ = - (x²의 계수) = - (-(a+b+c)) = a+b+c
- 두 근씩 곱한 값의 합: αβ + αγ + βγ = (x의 계수) = ab + ac + bc
- 세 근의 곱: αβγ = - (상수항) = - (-abc) = abc
즉, (x-a)(x-b)(x-c) 형태의 식은 세 근이 각각 a, b, c일 때의 3차 다항식을 나타내며, 이 전개식은 근과 계수의 관계를 이해하는 데 핵심적인 역할을 합니다.
활용 예시
이 전개식은 다양한 수학 문제 해결에 활용될 수 있습니다. 예를 들어, 세 근이 2, 3, 5인 3차 방정식을 구하라고 할 때, 우리는 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
(x-2)(x-3)(x-5) = 0
이것을 전개하면
x³ - (2+3+5)x² + (23 + 25 + 35)x - (23*5) = 0
x³ - 10x² + (6 + 10 + 15)x - 30 = 0
x³ - 10x² + 31x - 30 = 0
이처럼 (x-a)(x-b)(x-c)의 전개식을 알면 특정 근을 갖는 다항식을 쉽게 구성할 수 있습니다. 또한, 역으로 주어진 3차 방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 근의 성질을 파악하는 데에도 유용하게 사용됩니다.
결론적으로, (x-a)(x-b)(x-c)의 전개는 단순히 다항식을 푸는 과정을 넘어, 고차 방정식의 근과 계수의 관계라는 중요한 수학적 개념을 이해하는 기초가 됩니다. 이 전개식을 숙지하고 있으면 관련 문제를 더욱 빠르고 정확하게 해결할 수 있을 것입니다.