이차방정식의 서로 다른 실근 개수를 구하는 것은 매우 간단합니다. 이차방정식의 근의 개수는 판별식(D)의 부호를 통해 알 수 있습니다. 판별식은 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ (단, $a eq 0$)에서 $D = b^2 - 4ac$로 정의됩니다. 이 판별식의 값에 따라 서로 다른 실근의 개수가 결정됩니다.
판별식의 의미와 근의 개수
판별식 D의 값에 따라 다음과 같이 이차방정식의 근의 개수를 파악할 수 있습니다.
- D > 0: 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 이는 이차함수의 그래프가 x축과 두 점에서 만나는 경우에 해당합니다.
- D = 0: 중근(서로 같은 두 실근)을 갖습니다. 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 접하는 경우입니다.
- D < 0: 서로 다른 두 허근을 갖습니다. 이차함수의 그래프는 x축과 만나지 않습니다.
따라서 '서로 다른 실근의 개수'를 묻는 질문에 대한 답은 판별식 D가 0보다 클 때 '2개', D가 0일 때 '1개 (중근)', D가 0보다 작을 때 '0개'가 됩니다. 문제에서 '서로 다른'이라는 조건이 붙었기 때문에 D=0인 경우는 서로 다른 실근이 1개(중복된 근)가 아닌, 0개로 간주될 수도 있습니다. 하지만 일반적으로 '서로 다른 실근의 개수'를 물을 때는 D>0일 때 2개, D=0일 때 1개(중복 허용 시)로 해석하는 경우가 많습니다. 명확한 답을 위해서는 문제의 맥락을 확인하는 것이 중요합니다.
계산 예시
예를 들어, 이차방정식 $x^2 - 5x + 6 = 0$의 서로 다른 실근의 개수를 구해봅시다. 여기서 $a=1, b=-5, c=6$입니다.
판별식 $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$
D = 1이므로 0보다 큽니다 (D > 0). 따라서 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 실제로 근을 구해 보면 $(x-2)(x-3)=0$이므로 $x=2$와 $x=3$으로 두 개의 서로 다른 실근을 얻을 수 있습니다.
또 다른 예로, $x^2 - 4x + 4 = 0$의 경우를 살펴봅시다. $a=1, b=-4, c=4$입니다.
판별식 $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$
D = 0이므로 이 이차방정식은 중근을 갖습니다. 즉, 서로 같은 두 실근을 갖는다고 볼 수 있습니다. $(x-2)^2 = 0$이므로 $x=2$라는 근을 하나 갖습니다.
마지막으로, $x^2 + x + 1 = 0$의 경우입니다. $a=1, b=1, c=1$입니다.
판별식 $D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$
D = -3이므로 0보다 작습니다 (D < 0). 따라서 이 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖습니다. 실근은 존재하지 않습니다.
결론
이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$에서 서로 다른 실근의 개수를 구하는 공식은 판별식 $D = b^2 - 4ac$의 부호를 확인하는 것입니다. D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 중근(하나의 실근), D < 0이면 실근이 없습니다. 문제에서 '서로 다른'이라는 표현에 유의하여 D=0인 경우를 어떻게 해석해야 할지 판단해야 합니다.