무한등비급수의 합 공식을 완벽하게 이해하고 싶으신가요? 이 글에서는 무한등비급수의 수렴 조건부터 합 공식 유도 과정, 그리고 다양한 예시까지 자세하게 설명하여 여러분의 궁금증을 명쾌하게 해결해 드리겠습니다.
무한등비급수란 무엇일까요?
무한등비급수는 첫째항이 $a$이고 공비가 $r$인 등비수열의 모든 항을 무한히 더하는 것을 말합니다. 즉, $a + ar + ar^2 + ar^3 + ext{...}$ 와 같이 표현됩니다. 여기서 중요한 것은 이 급수가 '수렴'하는지 '발산'하는지 여부입니다. 수렴한다는 것은 무한히 더했을 때 어떤 특정 값에 가까워진다는 의미이고, 발산한다는 것은 특정 값에 가까워지지 않고 무한히 커지거나 진동한다는 의미입니다.
무한등비급수의 수렴 조건
무한등비급수가 수렴하기 위한 조건은 공비 $r$의 값에 따라 결정됩니다. 바로 $|r| < 1$ 일 때, 즉 $-1 < r < 1$ 일 때만 수렴합니다. 만약 공비 $r$이 1보다 크거나 같거나, -1보다 작거나 같으면 (즉, $|r| less 1$) 급수는 발산하게 됩니다. 첫째항 $a$가 0인 경우에는 공비 $r$의 값에 상관없이 항상 0으로 수렴합니다.
무한등비급수의 합 공식 유도
무한등비급수의 합 공식을 유도하기 위해 먼저 등비수열의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합 $S_n$을 생각해 봅시다. $S_n = a + ar + ext{...} + ar^{n-1}$ 입니다. 이 식의 양변에 공비 $r$을 곱하면 $rS_n = ar + ar^2 + ext{...} + ar^n$ 이 됩니다. 두 식을 빼면 $S_n - rS_n = a - ar^n$ 이고, 이를 정리하면 $(1-r)S_n = a(1-r^n)$ 이 됩니다. 따라서 $S_n = rac{a(1-r^n)}{1-r}$ 입니다.
이제 무한대로 항을 더하는 경우, 즉 $n o ext{infinity}$ 일 때를 생각해 봅시다. 만약 $|r| < 1$ 이라면, $n$이 무한히 커질 때 $r^n$은 0에 가까워집니다. 따라서 $S_n = rac{a(1-r^n)}{1-r}$ 에서 $r^n o 0$ 이 되므로, 무한등비급수의 합 $S$는 다음과 같이 됩니다.
$S = rac{a(1-0)}{1-r} = rac{a}{1-r}$
이것이 바로 무한등비급수의 합 공식입니다.
무한등비급수 합 공식 활용 예시
예시 1: 첫째항이 2이고 공비가 1/3인 무한등비급수의 합을 구하시오.
이 경우 $a=2$, $r=1/3$ 입니다. $|r| = |1/3| < 1$ 이므로 수렴합니다. 합 공식 $S = rac{a}{1-r}$ 에 대입하면 다음과 같습니다.
$S = rac{2}{1 - 1/3} = rac{2}{2/3} = 2 imes rac{3}{2} = 3$
따라서 이 무한등비급수의 합은 3입니다.
예시 2: $1 - rac{1}{2} + rac{1}{4} - rac{1}{8} + ext{...}$ 의 합을 구하시오.
이 급수의 첫째항 $a=1$ 이고, 공비 $r = rac{-1/2}{1} = - rac{1}{2}$ 입니다. $|r| = |-1/2| < 1$ 이므로 수렴합니다. 합 공식을 이용하면 다음과 같습니다.
$S = rac{1}{1 - (-1/2)} = rac{1}{1 + 1/2} = rac{1}{3/2} = 1 imes rac{2}{3} = rac{2}{3}$
따라서 이 무한등비급수의 합은 2/3입니다.
예시 3: 첫째항이 4이고 공비가 2인 무한등비급수의 합을 구하시오.
이 경우 $a=4$, $r=2$ 입니다. $|r| = |2| less 1$ 이므로 이 급수는 발산합니다. 따라서 합을 구할 수 없습니다.
결론
무한등비급수의 합 공식 $S = rac{a}{1-r}$ 은 공비 $r$의 범위가 $-1 < r < 1$ 일 때만 유효합니다. 이 조건을 반드시 확인하는 것이 중요합니다. 이 공식을 통해 무한히 더해지는 값의 수렴값을 명확하게 계산할 수 있습니다. 다양한 예시를 통해 공식을 적용하는 연습을 꾸준히 한다면 무한등비급수에 대한 이해도를 높일 수 있을 것입니다.