등비수열과 등비급수의 합을 구하는 공식은 수학에서 매우 중요하게 다뤄지는 개념입니다. 이 두 가지 개념을 명확히 이해하고 공식을 숙지하면 관련 문제를 빠르고 정확하게 해결할 수 있습니다. 이번 글에서는 등비수열의 합과 등비급수의 합을 구하는 공식과 그 원리를 자세히 알아보겠습니다.
등비수열의 합 공식
등비수열은 각 항이 이전 항에 일정한 수(공비)를 곱하여 얻어지는 수열을 말합니다. 예를 들어, 첫째항이 2이고 공비가 3인 등비수열은 2, 6, 18, 54, ... 와 같이 진행됩니다. 이러한 등비수열의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 $S_n$이라고 할 때, 다음과 같은 두 가지 공식으로 구할 수 있습니다.
첫 번째 공식은 공비 $r$이 1이 아닐 때 사용됩니다. $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$
여기서 $a$는 첫째항, $r$은 공비, $n$은 항의 개수입니다.
두 번째 공식은 공비 $r$이 1일 때 사용됩니다. 이 경우 모든 항이 첫째항과 같으므로 단순히 첫째항에 항의 개수를 곱하면 됩니다. $S_n = na$
예를 들어, 첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 다섯째항까지의 합을 구해봅시다. 이 경우 $a=3$, $r=2$, $n=5$이므로 첫 번째 공식을 사용합니다. $S_5 = \frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3(32 - 1)}{1} = 3 \times 31 = 93$
따라서 이 등비수열의 첫째항부터 다섯째항까지의 합은 93입니다.
등비급수의 합 공식
등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더해나가는 것을 말합니다. 등비급수의 합이 존재하는 경우는 공비 $r$의 절댓값이 1보다 작을 때($|r| < 1$)입니다. 이 경우, 등비급수의 합 $S$는 다음과 같은 공식으로 구할 수 있습니다. $S = \frac{a}{1 - r}$
여기서 $a$는 첫째항, $r$은 공비입니다.
만약 공비 $r$의 절댓값이 1보다 크거나 같으면($|r| \ge 1$) 등비급수는 발산하므로 합이 존재하지 않습니다.
예를 들어, 첫째항이 1이고 공비가 1/2인 등비급수의 합을 구해봅시다. 이 경우 $a=1$, $r=1/2$이므로 $|r| < 1$ 조건을 만족합니다. 따라서 두 번째 공식을 사용합니다. $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
따라서 이 등비급수의 합은 2입니다.