등비수열의 합 공식을 처음 접하는 분들은 복잡해 보일 수 있습니다. 하지만 몇 가지 원리를 이해하면 어렵지 않게 공식을 암기하고 활용할 수 있습니다. 이 글에서는 등비수열의 합 공식이 어떻게 유도되는지부터 실제 문제에 적용하는 방법까지 자세히 알아보겠습니다.
등비수열이란 무엇인가?
등비수열은 연속하는 두 항 사이의 비가 일정한 수열을 말합니다. 즉, 각 항에 일정한 수(공비)를 곱해서 다음 항을 얻는 수열입니다. 예를 들어, 2, 4, 8, 16, 32... 와 같은 수열은 첫째항이 2이고 공비가 2인 등비수열입니다. 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 할 때, 등비수열의 일반항은 $a_n = a imes r^{n-1}$로 표현됩니다.
등비수열의 합 공식 유도 과정
등비수열의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 $S_n$이라고 합시다. $S_n = a + ar + ar^2 + ext{...} + ar^{n-1}$ 입니다. 이 식의 양변에 공비 $r$을 곱하면 $rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ext{...} + ar^n$ 이 됩니다. 두 식을 빼면, 가운데 항들이 소거되면서 다음과 같은 결과를 얻습니다.
$S_n - rS_n = (a + ar + ext{...} + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + ext{...} + ar^n)$ $(1-r)S_n = a - ar^n$ $(1-r)S_n = a(1-r^n)$
따라서, 공비 $r$이 1이 아닐 경우 등비수열의 합 공식은 다음과 같습니다.
$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$
공비 $r=1$인 경우
만약 공비 $r$이 1이라면, 등비수열은 $a, a, a, ext{...}$ 와 같이 모든 항이 첫째항과 같습니다. 이 경우 첫째항부터 제 n항까지의 합은 단순히 첫째항 $a$를 $n$번 더한 것이므로 $S_n = na$가 됩니다. 이는 위의 공식에서 $r=1$을 대입하면 분모가 0이 되어 정의되지 않으므로 따로 기억해야 합니다.
등비수열 합 공식 활용 예시
예를 들어, 첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 제 5항까지의 합을 구해봅시다. $a=3$, $r=2$, $n=5$ 입니다. 공비 $r eq 1$ 이므로 첫 번째 공식을 사용합니다.
$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = \frac{3(1-32)}{-1} = \frac{3(-31)}{-1} = 93$
따라서 이 등비수열의 첫째항부터 제 5항까지의 합은 93입니다.
공식을 외우는 팁
공식을 외우기 어렵다면, 유도 과정을 떠올리는 것이 좋습니다. $S_n$에서 $rS_n$을 빼는 과정에서 첫째항 $a$와 마지막 항에 공비 $r$을 곱한 $ar^n$만 남는다는 점을 기억하세요. 분모는 $(1-r)$ 또는 $(r-1)$이 되는데, 이는 분자의 $(1-r^n)$ 또는 $(r^n-1)$과 짝을 이룹니다. $r>1$일 때는 분모, 분자를 모두 $(r-1)$과 $(r^n-1)$로 맞춰주면 계산이 더 편리할 수 있습니다.
$S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ (단, $r eq 1$)
이처럼 등비수열의 합 공식은 몇 가지 원리만 이해하면 어렵지 않게 익힐 수 있습니다. 꾸준히 연습하여 문제 해결 능력을 향상시키시길 바랍니다.