sin²(x)를 미분하면 cos²(x)가 되는지 궁금하시군요. 결론부터 말씀드리면, sin²(x)를 미분한 결과는 cos²(x)가 아니라 2sin(x)cos(x)입니다. 이는 삼각함수의 미분법과 연쇄 법칙(chain rule)을 적용하여 얻을 수 있는 결과입니다.
sin²(x) 미분 과정
sin²(x)는 sin(x)를 제곱한 함수로, f(g(x)) 형태의 합성함수로 볼 수 있습니다. 여기서 외부 함수는 g(u) = u²이고, 내부 함수는 u = sin(x)입니다. 연쇄 법칙에 따라 합성함수의 미분은 다음과 같이 계산됩니다.
(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
- 외부 함수 미분: g(u) = u²를 미분하면 g'(u) = 2u가 됩니다. 여기에 내부 함수 u = sin(x)를 대입하면 f'(g(x)) = 2sin(x)가 됩니다.
- 내부 함수 미분: u = sin(x)를 미분하면 u' = cos(x)가 됩니다.
- 연쇄 법칙 적용: 두 결과를 곱하면 sin²(x)의 미분은 2sin(x)cos(x)가 됩니다.
2sin(x)cos(x)의 의미
sin²(x)를 미분한 결과인 2sin(x)cos(x)는 삼각함수의 배각 공식에 의해 sin(2x)와 같습니다. 따라서 sin²(x)의 미분은 sin(2x)라고도 표현할 수 있습니다.
sin(x)와 cos(x)의 미분
참고로, 기본적인 삼각함수의 미분은 다음과 같습니다.
- sin(x)를 미분하면 cos(x)가 됩니다.
- cos(x)를 미분하면 -sin(x)가 됩니다.
이러한 기본 미분 공식을 바탕으로 연쇄 법칙을 적용하면 sin²(x)와 같은 복잡한 함수의 미분도 정확하게 계산할 수 있습니다.
오해하기 쉬운 부분
sin²(x)를 미분했을 때 cos²(x)가 나올 것이라고 생각하는 것은 아마도 sin(x)의 미분이 cos(x)라는 사실과 연관 지어 생각했기 때문일 수 있습니다. 하지만 함수를 제곱한 형태는 연쇄 법칙을 적용해야 하므로 단순히 각 함수를 미분한 결과를 제곱하는 것과는 다릅니다.
정리하자면, sin²(x)의 미분은 2sin(x)cos(x) 또는 sin(2x)입니다. cos²(x)가 되는 것은 아닙니다.