이차방정식의 두 근이 모두 양수가 되기 위한 조건은 세 가지를 동시에 만족해야 합니다. 첫째, 판별식이 0보다 크거나 같아야 합니다. 이는 서로 다른 두 실근 또는 중근을 가져야 함을 의미합니다. 둘째, 두 근의 합이 0보다 커야 합니다. 셋째, 두 근의 곱이 0보다 커야 합니다. 이 세 가지 조건을 모두 만족할 때, 이차방정식의 두 근은 모두 양수가 됩니다.
이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)에서 두 근을 $\alpha$와 $\beta$라고 할 때, 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 $\alpha + \beta = -b/a$이고, 두 근의 곱은 $\alpha \beta = c/a$입니다. 따라서 두 근이 모두 양수가 되기 위한 조건은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- 판별식 ($D$) $\ge$ 0: $\alpha$와 $\beta$가 실근이어야 하므로, $D = b^2 - 4ac \ge 0$이어야 합니다.
- 두 근의 합 ($\alpha + \beta$) > 0: 두 근이 모두 양수이면 그 합도 당연히 양수입니다. 따라서 $-b/a > 0$이어야 합니다.
- 두 근의 곱 ($\alpha \beta$) > 0: 두 양수의 곱은 양수이므로, $c/a > 0$이어야 합니다.
이 세 가지 조건은 이차방정식의 근의 부호를 판별하는 데 매우 중요하며, 특히 두 근이 모두 양수일 경우를 정확히 파악하는 데 활용됩니다.
예제 풀이
이차방정식 $x^2 - (k+1)x + (k+3) = 0$의 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구해봅시다.
먼저, 이차방정식의 계수를 확인합니다. $a=1$, $b=-(k+1)$, $c=k+3$입니다. 이제 위에서 설명한 세 가지 조건을 적용해 봅시다.
1. 판별식 $D \ge 0$
$D = b^2 - 4ac = (-(k+1))^2 - 4(1)(k+3) \ge 0$ $(k+1)^2 - 4(k+3) \ge 0$ $k^2 + 2k + 1 - 4k - 12 \ge 0$ $k^2 - 2k - 11 \ge 0$
이 부등식을 풀기 위해 $k^2 - 2k - 11 = 0$의 근을 구하면, 근의 공식을 사용하여 $k = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-11)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{3}$입니다.
따라서 $k^2 - 2k - 11 \ge 0$을 만족하는 $k$의 범위는 $k \le 1 - 2\sqrt{3}$ 또는 $k \ge 1 + 2\sqrt{3}$입니다.
2. 두 근의 합 > 0
두 근의 합은 $-b/a = -(-(k+1))/1 = k+1$입니다. $k+1 > 0$이므로, $k > -1$입니다.
3. 두 근의 곱 > 0
두 근의 곱은 $c/a = (k+3)/1 = k+3$입니다. $k+3 > 0$이므로, $k > -3$입니다.
이제 위에서 얻은 세 가지 조건의 범위를 모두 만족하는 $k$의 값을 찾아야 합니다.
- $k \le 1 - 2\sqrt{3}$ 또는 $k \ge 1 + 2\sqrt{3}$
- $k > -1$
- $k > -3$
$1 - 2\sqrt{3}$는 약 $1 - 2(1.732) = 1 - 3.464 = -2.464$입니다. $1 + 2\sqrt{3}$는 약 $1 + 3.464 = 4.464$입니다.
세 조건을 종합하면 다음과 같습니다.
- ($k \le -2.464$ 또는 $k \ge 4.464$) AND ($k > -1$) AND ($k > -3$)
이것을 수직선 상에서 살펴보면, $k > -1$과 $k > -3$을 동시에 만족하는 범위는 $k > -1$입니다.
이제 ($k \le -2.464$ 또는 $k \ge 4.464$)와 $k > -1$을 동시에 만족하는 범위를 찾아야 합니다.
$k \le -2.464$ 부분은 $k > -1$과 겹치지 않습니다.
$k \ge 4.464$ 부분은 $k > -1$과 겹치므로, $k \ge 1 + 2\sqrt{3}$가 됩니다.
따라서 이 이차방정식의 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위는 $k \ge 1 + 2\sqrt{3}$입니다.
이처럼 이차방정식의 두 근이 모두 양수일 조건을 파악하고 각 조건을 개별적으로 계산한 뒤, 모든 조건을 만족하는 공통 범위를 찾는 과정을 통해 정확한 해를 구할 수 있습니다.