이 복잡해 보이는 수학 계산은 지수와 거듭제곱근의 성질을 이용하여 단계별로 풀 수 있습니다. 각 항을 개별적으로 계산한 후, 곱셈과 나눗셈을 순서대로 적용하면 최종 결과를 얻을 수 있습니다. 특히 음수 지수와 분수 지수의 의미를 정확히 이해하는 것이 중요합니다.
가장 먼저 각 항의 값을 계산해 보겠습니다. 첫 번째 항인 $9^{-2/3}$은 9의 3제곱근의 제곱에 역수를 취한 값입니다. 즉, $9^{1/3}$은 $\sqrt[3]{9}$이고, 이를 제곱하면 $(\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{81}$이 됩니다. 여기에 역수를 취하면 $1/\sqrt[3]{81}$이 됩니다. 두 번째 항인 $8^{1/3}$은 8의 세제곱근으로, 이는 2입니다. 세 번째 항인 $81^{-3}$은 81의 세제곱에 역수를 취한 값으로, $1/81^3$이 됩니다. 마지막으로 $\sqrt{81}$은 9입니다.
이제 이 값들을 원래 식에 대입하여 계산을 진행하겠습니다. 식은 다음과 같이 변환됩니다: $(1/\sqrt[3]{81}) * 2 / (1/81^3) * 9$. 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같으므로, $(1/\sqrt[3]{81}) * 2 * 81^3 * 9$로 변경됩니다. 여기서 $81$은 $3^4$이고, $9$는 $3^2$임을 이용하면 계산이 더 용이해집니다. 또한 $81$은 $3^4$이므로 $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{4/3}$입니다. 따라서 식은 $(1/3^{4/3}) * 2 * (3^4)^3 * 3^2$가 됩니다. 지수 법칙 $(a^m)^n = a^{m*n}$을 적용하면 $(3^4)^3 = 3^{12}$가 됩니다. 따라서 식은 $(1/3^{4/3}) * 2 * 3^{12} * 3^2$가 됩니다.
지수 법칙 $a^m * a^n = a^{m+n}$과 $a^m / a^n = a^{m-n}$을 사용하여 거듭제곱 항들을 정리하겠습니다. 먼저 $3^{12} * 3^2 = 3^{14}$가 됩니다. 또한 $1/3^{4/3}$은 $3^{-4/3}$과 같습니다. 따라서 전체 식은 $3^{-4/3} * 2 * 3^{14}$가 됩니다. 이제 지수들을 더하면 $-4/3 + 14 = -4/3 + 42/3 = 38/3$이 됩니다. 따라서 계산 결과는 $2 * 3^{38/3}$이 됩니다. 이 값은 매우 큰 수이므로, 이 형태로 표현하는 것이 가장 간결합니다. 만약 소수점 이하의 근사값을 원한다면 계산기를 사용해야 할 것입니다. 이처럼 복잡한 지수 계산은 각 항의 성질을 파악하고 지수 법칙을 정확히 적용하는 것이 핵심입니다.