1부터 100까지의 자연수 중에서 72와 서로소인 숫자의 개수를 구하는 것은 수학적으로 흥미로운 문제입니다. 서로소라는 것은 두 자연수의 최대공약수가 1일 때를 의미합니다. 72와 서로소인 숫자를 찾는다는 것은 곧 72의 약수를 공약수로 가지지 않는 숫자를 찾는다는 뜻이기도 합니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 72의 소인수분해 결과와 포함-배제의 원리를 활용할 수 있습니다.
먼저 72를 소인수분해해 봅시다. 72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 9 = 2^3 × 3^2 입니다. 따라서 72의 소인수는 2와 3뿐입니다. 72와 서로소인 자연수는 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 자연수입니다. 즉, 1부터 100까지의 자연수 중에서 2 또는 3의 배수를 제외하면 됩니다.
1부터 100까지의 전체 자연수는 100개입니다. 이제 2의 배수와 3의 배수의 개수를 각각 구하고, 둘 다 포함하는 6의 배수(2와 3의 최소공배수)의 개수를 이용하여 포함-배제의 원리로 2 또는 3의 배수인 경우의 수를 계산해 보겠습니다.
1부터 100까지 2의 배수의 개수는 100 ÷ 2 = 50개입니다. 1부터 100까지 3의 배수의 개수는 100 ÷ 3 = 33개입니다. (나머지 버림) 1부터 100까지 6의 배수의 개수는 100 ÷ 6 = 16개입니다. (나머지 버림)
포함-배제의 원리에 따라, 2 또는 3의 배수인 자연수의 개수는 (2의 배수 개수) + (3의 배수 개수) - (6의 배수 개수) 입니다. 따라서 2 또는 3의 배수인 자연수의 개수는 50 + 33 - 16 = 67개입니다.
우리가 찾고자 하는 것은 72와 서로소인 자연수, 즉 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 자연수의 개수입니다. 이는 전체 자연수의 개수에서 2 또는 3의 배수인 자연수의 개수를 빼면 됩니다.
72와 서로소인 자연수의 개수 = (1부터 100까지 자연수의 총 개수) - (2 또는 3의 배수인 자연수의 개수) = 100 - 67 = 33개입니다.
따라서 1부터 100까지의 자연수 중에서 72와 서로소인 자연수는 총 33개입니다. 이 숫자들은 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아니며, 100 이하의 수들입니다. 예를 들어 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97 등이 있습니다. 이들은 72의 소인수인 2나 3을 약수로 가지지 않으므로 72와 최대공약수가 1이 됩니다.