2의 30승과 3의 20승 중 어떤 수가 더 큰지 궁금하신가요? 이 두 수를 직접 계산하는 것은 매우 번거롭지만, 지수 법칙을 활용하면 훨씬 쉽게 비교할 수 있습니다. 결론부터 말씀드리면, 3의 20승이 2의 30승보다 더 큽니다. 지금부터 그 이유를 쉽고 명확하게 설명해 드리겠습니다.
지수 법칙을 이용한 비교
두 수를 비교하기 위해 지수 법칙을 활용해 보겠습니다. 지수 법칙 중 하나는 $(a^m)^n = a^{m imes n}$ 입니다. 이 법칙을 이용하면 두 수의 지수를 같은 형태로 만들어 비교하기 용이하게 만들 수 있습니다.
먼저 2의 30승을 살펴보겠습니다. 30은 10과 3의 곱이므로, 2의 30승은 $(2^3)^{10}$ 으로 나타낼 수 있습니다. 2의 3승은 8이므로, 2의 30승은 $8^{10}$ 과 같습니다.
다음으로 3의 20승을 살펴보겠습니다. 20은 10과 2의 곱이므로, 3의 20승은 $(3^2)^{10}$ 으로 나타낼 수 있습니다. 3의 2승은 9이므로, 3의 20승은 $9^{10}$ 과 같습니다.
이제 우리는 $8^{10}$ 과 $9^{10}$ 을 비교하게 되었습니다. 밑이 8인 수와 밑이 9인 수를 같은 10제곱으로 비교하는 것입니다. 밑이 더 큰 9가 밑이 더 작은 8보다 당연히 더 큰 값을 가지게 됩니다. 따라서 $9^{10}$ 이 $8^{10}$ 보다 크고, 이는 곧 3의 20승이 2의 30승보다 크다는 것을 의미합니다.
다른 방법으로 비교하기
또 다른 방법으로 지수를 6으로 맞춰 비교하는 것도 가능합니다. 2의 30승은 $(2^5)^6$ 으로 나타낼 수 있으며, 2의 5승은 32이므로 $32^6$ 입니다. 3의 20승은 $(3^{10/3})^6$ 으로 나타낼 수 있는데, 이는 계산이 더 복잡해집니다. 하지만 2의 30승을 $(2^{3})^{10} = 8^{10}$ 으로, 3의 20승을 $(3^{2})^{10} = 9^{10}$ 으로 바꾸는 것이 가장 직관적이고 쉬운 방법입니다.
결론
지수 법칙 $(a^m)^n = a^{m imes n}$ 을 활용하여 2의 30승을 $8^{10}$ 으로, 3의 20승을 $9^{10}$ 으로 변환하여 비교한 결과, 밑이 더 큰 9를 10제곱한 $9^{10}$ 이 더 큰 값이 됩니다. 따라서 3의 20승이 2의 30승보다 더 큰 수입니다.