이차부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하는 경우는 생각보다 까다로운 조건을 요구합니다. 핵심은 이차함수의 그래프가 x축과 어떤 관계를 맺느냐에 따라 결정된다는 점입니다. 이차부등식이란 ax² + bx + c > 0 (또는 < 0, ≥ 0, ≤ 0) 꼴의 부등식을 말하며, 여기서 a, b, c는 상수이고 a ≠ 0입니다. 이 부등식이 모든 실수 x에 대해 성립하기 위해서는 몇 가지 중요한 조건들을 만족해야 합니다.
먼저, 이차부등식의 최고차항 계수 a의 부호가 매우 중요합니다. 만약 ax² + bx + c > 0 꼴의 부등식이 모든 실수 x에 대해 성립해야 한다면, 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이 아닌 위로 볼록한 포물선이 되어서는 안 됩니다. 즉, 위로 볼록한 포물선은 아무리 위로 올라가도 x축보다 항상 위에 있을 수 없기 때문입니다. 따라서 a > 0 이어야 합니다. 만약 ax² + bx + c < 0 꼴의 부등식이 모든 실수 x에 대해 성립해야 한다면, 이와 반대로 a < 0 이어야 합니다. 하지만 일반적으로 ax² + bx + c > 0 꼴이 모든 실수 x에 대해 성립하는 경우가 더 자주 다루어지므로, 여기서는 a > 0을 기준으로 설명하겠습니다.
다음으로, 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계가 결정짓는 판별식을 고려해야 합니다. 이차부등식 ax² + bx + c > 0 (단, a > 0)이 모든 실수 x에 대해 성립하려면, 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않거나, x축에 접해야 합니다. 즉, 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 실근이 존재하지 않아야 합니다. 실근의 존재 여부는 판별식 D = b² - 4ac의 부호로 알 수 있습니다. 따라서, 이차부등식이 모든 실수 x에 대해 성립하기 위한 두 번째 조건은 판별식 D < 0 입니다. 만약 ax² + bx + c ≥ 0 꼴의 부등식이 모든 실수 x에 대해 성립해야 한다면, 이차함수의 그래프가 x축에 접하는 경우도 포함되므로 판별식 D ≤ 0 이 됩니다. 그러나 '모든 실수 x에 대하여 성립'이라는 표현은 보통 엄격한 부등호(>) 또는 (<)를 포함하는 경우가 많으므로 D < 0 이 더 일반적인 조건입니다.
정리하자면, 이차부등식 ax² + bx + c > 0이 모든 실수 x에 대하여 성립하기 위한 조건은 다음과 같습니다. 첫째, 최고차항의 계수 a는 반드시 양수여야 합니다 (a > 0). 둘째, 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식 D = b² - 4ac는 음수여야 합니다 (D < 0). 이 두 가지 조건을 동시에 만족할 때, 이차함수의 그래프는 x축보다 항상 위에 존재하게 되어 모든 실수 x에 대해 부등식이 성립하게 됩니다. 이 두 조건을 기억하고 문제에 적용하는 것이 중요합니다.
이 조건을 이해하기 위해 몇 가지 예시를 살펴보겠습니다. 예를 들어, x² - 2x + 2 > 0 이라는 부등식이 있습니다. 여기서 a=1, b=-2, c=2 입니다. 먼저, a=1이므로 a > 0 조건을 만족합니다. 다음으로 판별식을 계산하면 D = (-2)² - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 입니다. D = -4 < 0 이므로, 판별식 조건도 만족합니다. 따라서 이 이차부등식은 모든 실수 x에 대해 성립합니다. 이차함수 y = x² - 2x + 2의 꼭짓점을 구해보면 (1, 1)이므로 x축보다 항상 위에 있음을 알 수 있습니다.
반대로, x² - 4x + 4 > 0 이라는 부등식을 생각해 봅시다. 여기서 a=1, b=-4, c=4 입니다. a > 0 조건은 만족하지만, 판별식 D = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 입니다. D = 0 이므로 D < 0 조건을 만족하지 못합니다. 이 경우, 이차함수 y = x² - 4x + 4는 (x-2)² = 0 을 만족하는 x=2에서 x축에 접합니다. 즉, x=2일 때는 부등식이 성립하지 않습니다 (0 > 0은 거짓). 따라서 이 부등식은 모든 실수 x에 대해 성립하지 않습니다.
마지막으로, x² - 6x + 5 > 0 이라는 부등식을 살펴보겠습니다. a=1, b=-6, c=5 입니다. a > 0 조건은 만족하지만, 판별식 D = (-6)² - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 입니다. D = 16 > 0 이므로 D < 0 조건을 만족하지 못합니다. 이 경우, 이차방정식 x² - 6x + 5 = 0은 (x-1)(x-5)=0 으로 두 실근 x=1, x=5를 갖습니다. 즉, x=1과 x=5 사이의 값에서는 부등식이 성립하지 않습니다. 따라서 이 부등식도 모든 실수 x에 대해 성립하지 않습니다.
이처럼 이차부등식이 모든 실수 x에 대해 성립하기 위한 조건은 최고차항 계수의 부호와 판별식의 부호라는 두 가지 핵심 요소에 의해 결정됩니다. 문제 풀이 시 이 두 가지 조건을 빠뜨리지 않고 확인하는 습관을 들이는 것이 중요합니다.