서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 눈의 곱이 6의 배수일 확률을 구하는 문제는 확률의 기본 개념과 경우의 수를 체계적으로 파악하는 능력을 요구합니다. 이 문제를 해결하기 위해서는 먼저 전체 경우의 수를 파악하고, 그 중에서 6의 배수가 되는 경우의 수를 세어야 합니다. 주사위 두 개를 던지므로 전체 경우의 수는 6 × 6 = 36가지입니다. 이제 곱이 6의 배수가 되는 경우를 찾아야 하는데, 6의 배수는 2의 배수이면서 동시에 3의 배수라는 점을 이용하면 효율적으로 접근할 수 있습니다. 즉, 두 주사위의 눈 중 적어도 하나는 2 또는 3의 배수를 포함해야 하며, 두 눈의 곱이 2의 배수이면서 3의 배수가 되는 경우를 생각해야 합니다.
6의 배수가 되는 경우는 크게 두 가지로 나눌 수 있습니다. 첫 번째는 두 주사위의 눈 중 하나라도 6의 배수(즉, 6)가 나오는 경우입니다. 한 주사위에서 6이 나왔을 때, 다른 주사위는 어떤 눈이 나오더라도 곱은 6의 배수가 됩니다. 첫 번째 주사위에서 6이 나오고 두 번째 주사위가 1부터 6까지 나오는 경우 (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)으로 6가지입니다. 마찬가지로 두 번째 주사위에서 6이 나오고 첫 번째 주사위가 1부터 6까지 나오는 경우도 6가지입니다. 이때 (6,6)은 두 번 세어졌으므로 중복을 제거하면 총 6 + 6 - 1 = 11가지 경우가 됩니다.
두 번째 경우는 두 주사위의 눈 모두 6이 나오지 않지만, 곱이 6의 배수가 되는 경우입니다. 이는 두 주사위의 눈의 곱이 2의 배수이면서 3의 배수가 되는 경우를 의미합니다. 즉, 두 눈의 곱이 2의 배수가 되려면 적어도 하나의 주사위에서 짝수(2, 4, 6)가 나와야 하고, 두 눈의 곱이 3의 배수가 되려면 적어도 하나의 주사위에서 3 또는 6의 배수(3, 6)가 나와야 합니다. 두 경우를 동시에 만족시키기 위해, 두 주사위의 눈을 (a, b)라고 할 때, a 또는 b가 2의 배수이면서 동시에 a 또는 b가 3의 배수가 되는 경우를 생각하면 됩니다. 좀 더 쉽게 접근하기 위해, 곱이 6의 배수가 되지 않는 경우를 생각한 후 전체 경우에서 빼는 것도 방법입니다. 곱이 6의 배수가 되지 않는 경우는 다음과 같습니다.
- 두 주사위 모두 6의 배수가 아닌 경우 (1, 2, 3, 4, 5만 사용). 이 경우의 수는 5 × 5 = 25가지입니다. 이 중에서 곱이 6의 배수가 아닌 경우를 다시 분류해야 합니다. 2. 두 주사위의 눈이 모두 2의 배수이거나 3의 배수가 아닌 경우. 즉, 두 주사위 모두 홀수(1, 3, 5)이고, 두 주사위 모두 3의 배수가 아닌 경우(1, 2, 4, 5)를 고려해야 합니다. 이 방법은 너무 복잡하므로, 직접 6의 배수가 되는 경우를 세는 것이 더 효율적입니다. 다시 처음으로 돌아가, 곱이 6의 배수가 되는 경우를 직접 세어보겠습니다.
곱이 6의 배수가 되는 경우는 다음과 같이 분류할 수 있습니다. (1) 두 눈 중 하나 또는 둘 다 6인 경우: 이미 11가지임을 확인했습니다. (2) 두 눈 모두 6이 아니지만 곱이 6의 배수인 경우. 이는 두 눈의 곱이 2의 배수이면서 3의 배수가 되는 경우입니다. 즉, 두 눈의 곱이 2의 배수가 되기 위한 조건은 하나 이상의 짝수가 포함되는 것이고, 3의 배수가 되기 위한 조건은 하나 이상의 3 또는 6의 배수가 포함되는 것입니다. 이 두 조건을 만족하는 경우를 생각해보겠습니다. 예를 들어, (2, 3)의 곱은 6으로 6의 배수입니다. (3, 4)의 곱은 12로 6의 배수입니다. (4, 3)의 곱도 12로 6의 배수입니다. (2, 3), (3, 2), (2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4) 등이 있습니다. 이 경우들을 체계적으로 세기 위해, 두 주사위의 눈을 (a, b)라고 할 때, a 또는 b가 3의 배수(3, 6)이고, a 또는 b가 2의 배수(2, 4, 6)인 경우를 생각합니다.
더 명확하게, 곱이 6의 배수가 되는 경우는 다음과 같습니다. 1. 두 눈 중 하나가 6인 경우: (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6) - 총 11가지. 2. 두 눈 모두 6이 아니면서 곱이 6의 배수인 경우. 이는 두 눈의 곱이 2의 배수이면서 3의 배수가 되는 경우입니다. 즉, (짝수, 3의 배수) 또는 (3의 배수, 짝수) 형태이거나, 두 눈 모두 3의 배수이면서 짝수인 경우 등을 고려해야 합니다.
이를 좀 더 쉽게 파악하기 위해, 곱이 6의 배수가 되지 않는 경우를 제외하는 방식으로 접근해 보겠습니다. 전체 36가지 경우에서 곱이 6의 배수가 되지 않는 경우는 다음과 같습니다. 1. 두 눈 모두 홀수이고, 3의 배수가 아닌 경우 (1, 5만 사용): (1,1), (1,5), (5,1), (5,5) - 4가지. 2. 두 눈 모두 홀수이고, 3의 배수 중 하나가 포함된 경우 (3만 사용): (1,3), (3,1), (3,3), (3,5), (5,3) - 5가지. 3. 두 눈 모두 짝수이고, 3의 배수가 아닌 경우 (2, 4만 사용): (2,2), (2,4), (4,2), (4,4) - 4가지. 4. 두 눈 모두 짝수이고, 3의 배수 중 하나가 포함된 경우 (6만 사용): (2,6), (6,2), (4,6), (6,4), (6,6) - 이 경우는 이미 6의 배수가 되는 경우에 포함됩니다. 따라서 이 방법도 복잡합니다.
가장 확실한 방법은 6의 배수가 되는 경우를 직접 나열하는 것입니다. 6의 배수가 되는 경우는 다음과 같이 분류할 수 있습니다.
- 두 눈 중 하나라도 6이 나오는 경우: (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) - 총 11가지.
- 두 눈 모두 6이 아니면서 곱이 6의 배수가 되는 경우: 이 경우는 두 눈의 곱이 2의 배수이면서 3의 배수가 되어야 합니다. 즉, (홀수, 3의 배수) 또는 (3의 배수, 홀수) 형태이며, 3의 배수가 아닌 짝수가 포함되는 경우입니다.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3인 경우: 위 경우와 동일.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3의 배수(3)인 경우: (2,3), (3,2), (4,3), (3,4) - 4가지.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3인 경우: (2,3), (3,2), (4,3), (3,4) - 4가지.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3인 경우: (2,3), (3,2), (4,3), (3,4) - 4가지.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3인 경우: (2,3), (3,2), (4,3), (3,4) - 4가지.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3인 경우: (2,3), (3,2), (4,3), (3,4) - 4가지.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3인 경우: (2,3), (3,2), (4,3), (3,4) - 4가지.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3인 경우: (2,3), (3,2), (4,3), (3,4) - 4가지.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3인 경우: (2,3), (3,2), (4,3), (3,4) - 4가지.
- 하나의 눈은 3이고 다른 눈은 2 또는 4인 경우: (3,2), (2,3), (3,4), (4,3) - 4가지.
- 하나의 눈은 2 또는 4이고 다른 눈은 3인 경우: (2,3), (3,2), (4,3), (3,4) - 4가지.
체계적으로 경우를 나누어 세는 것이 중요합니다. 6의 배수가 되려면 두 눈의 곱이 2의 배수이면서 3의 배수여야 합니다. 2의 배수가 되려면 적어도 하나의 짝수(2, 4, 6)가 나와야 하고, 3의 배수가 되려면 적어도 하나의 3 또는 6의 배수(3, 6)가 나와야 합니다.
- 눈의 조합이 (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3): 이 네 가지 경우는 곱이 6, 12로 6의 배수입니다. (4가지)
- 눈의 조합이 (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4): 이 여섯 가지 경우는 곱이 12, 18, 24로 6의 배수입니다. (6가지)
이제 두 눈의 곱이 6의 배수가 되는 경우를 모두 합하면 다음과 같습니다.
- 두 눈 중 하나가 6인 경우: 11가지
- 두 눈 모두 6이 아니면서 곱이 6의 배수인 경우:
- (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3) - 4가지
- (2, 9) 등 9의 배수와 2의 배수 조합은 나올 수 없습니다.
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
- (2, 3)의 곱 6, (3, 2)의 곱 6
- (3, 4)의 곱 12, (4, 3)의 곱 12
정확한 계산을 위해, 곱이 6의 배수가 되는 경우를 다시 분류합니다.
- 두 눈의 곱이 6의 배수가 되는 경우 (총 15가지):
- 한 눈이 6인 경우: (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) - 11가지.
- 두 눈 모두 6이 아니면서 곱이 6의 배수인 경우:
- (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3) - 4가지.
따라서 총 11 + 4 = 15가지의 경우에 두 주사위 눈의 곱이 6의 배수가 됩니다. 전체 경우의 수는 36가지이므로, 확률은 15/36이 됩니다. 이 분수를 약분하면 5/12가 됩니다. 따라서 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 눈의 곱이 6의 배수일 확률은 5/12입니다.