91과 103을 어떤 수로 나누었을 때 모두 나머지가 7이 되는 경우, 그 '어떤 수'를 찾는 문제입니다. 이 문제는 기본적인 수의 성질과 나눗셈의 원리를 이해하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
문제 분석 및 접근 방법
먼저, 91을 어떤 수 'x'로 나누었을 때 나머지가 7이라는 것은 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 91 = q1 * x + 7 (여기서 q1은 몫이고, x는 나머지 7보다 커야 합니다.) 마찬가지로, 103을 같은 수 'x'로 나누었을 때 나머지가 7이 되는 경우는 다음과 같습니다. 103 = q2 * x + 7 (여기서 q2는 몫이고, x는 나머지 7보다 커야 합니다.)
이 두 식을 변형하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다. 91 - 7 = q1 * x => 84 = q1 * x 103 - 7 = q2 * x => 96 = q2 * x
즉, 우리가 찾는 수 'x'는 84와 96의 공약수여야 합니다. 또한, 문제의 조건에서 '어떤 수'로 나누었을 때 '나머지'가 7이므로, 나누는 수 'x'는 반드시 나머지 7보다 커야 합니다. 따라서 우리는 84와 96의 공약수 중에서 7보다 큰 수를 찾아야 합니다.
84와 96의 공약수 구하기
먼저 84와 96의 최대공약수(GCD)를 구한 후, 그 약수들을 찾아 공통된 약수를 구하는 것이 효율적입니다.
84의 소인수분해: 84 = 2^2 * 3 * 7 96의 소인수분해: 96 = 2^5 * 3
84와 96의 최대공약수는 두 수의 공통된 소인수 중 가장 작은 지수를 가진 것들을 곱한 것입니다. GCD(84, 96) = 2^2 * 3 = 4 * 3 = 12
이제 84와 96의 공약수는 최대공약수인 12의 약수와 같습니다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다.
조건에 맞는 '어떤 수' 찾기
앞서 설명했듯이, 나누는 수 'x'는 나머지 7보다 커야 합니다. 따라서 12의 약수 중에서 7보다 큰 수는 12뿐입니다.
결론
그러므로 91과 103을 어떤 수로 나누었더니 나머지 모두가 7이었을 때, 그 '어떤 수'는 12입니다.
검증
91을 12로 나누면: 91 = 12 * 7 + 7 (몫 7, 나머지 7) 103을 12로 나누면: 103 = 12 * 8 + 7 (몫 8, 나머지 7)
계산 결과, 두 경우 모두 나머지가 7이므로 구한 답 12는 올바른 답입니다.