연립방정식은 두 개 이상의 방정식을 동시에 만족하는 미지수의 값을 찾는 문제입니다. 주어진 두 방정식 "2x - y = 5"와 "3x + 2y = 4"를 만족하는 실수 x와 y를 구하는 방법을 단계별로 알아보겠습니다. 이 문제는 대입법 또는 가감법을 사용하여 풀 수 있습니다.
1. 대입법을 이용한 풀이
대입법은 한 방정식에서 한 미지수를 다른 미지수에 대한 식으로 정리한 후, 그 식을 다른 방정식에 대입하여 푸는 방법입니다. 먼저, 첫 번째 방정식 "2x - y = 5"에서 y에 대해 정리해 보겠습니다. y를 우변으로 이항하고 5를 좌변으로 이항하면 다음과 같습니다.
y = 2x - 5
이제 이 y에 대한 식을 두 번째 방정식 "3x + 2y = 4"에 대입합니다.
3x + 2(2x - 5) = 4
괄호를 풀고 x에 대해 정리합니다.
3x + 4x - 10 = 4
7x - 10 = 4
상수항을 우변으로 이항합니다.
7x = 14
양변을 7로 나누어 x의 값을 구합니다.
x = 2
이제 구한 x의 값(x=2)을 y에 대한 식 "y = 2x - 5"에 대입하여 y의 값을 구합니다.
y = 2(2) - 5
y = 4 - 5
y = -1
따라서 대입법을 이용한 결과, 이 연립방정식의 해는 x = 2, y = -1입니다.
2. 가감법을 이용한 풀이
가감법은 두 방정식을 더하거나 빼서 한 미지수를 소거한 후 푸는 방법입니다. 주어진 두 방정식은 다음과 같습니다.
(1) 2x - y = 5 (2) 3x + 2y = 4
여기서 y의 계수를 같게 만들어 소거하기 위해, 첫 번째 방정식 (1)에 2를 곱합니다.
2 * (2x - y) = 2 * 5
4x - 2y = 10 (3)
이제 두 번째 방정식 (2)와 변형된 첫 번째 방정식 (3)을 더합니다. y 항의 계수가 부호가 반대이므로 더하면 소거됩니다.
(3x + 2y) + (4x - 2y) = 4 + 10
7x = 14
양변을 7로 나누어 x의 값을 구합니다.
x = 2
이제 구한 x의 값(x=2)을 원래의 두 방정식 중 하나에 대입하여 y의 값을 구합니다. 첫 번째 방정식 (1)에 대입해 보겠습니다.
2(2) - y = 5
4 - y = 5
y를 우변으로, 5를 좌변으로 이항합니다.
4 - 5 = y
y = -1
따라서 가감법을 이용한 결과 역시 x = 2, y = -1입니다.
3. 해의 검증
구한 해 x = 2, y = -1이 두 방정식을 모두 만족하는지 확인해 봅시다. 첫 번째 방정식 "2x - y = 5"에 대입하면:
2(2) - (-1) = 4 + 1 = 5
두 번째 방정식 "3x + 2y = 4"에 대입하면:
3(2) + 2(-1) = 6 - 2 = 4
두 방정식 모두에서 등식이 성립하므로, 구한 해 x = 2, y = -1은 올바릅니다.
결론
주어진 연립방정식 "2x - y = 5"와 "3x + 2y = 4"를 만족하는 실수 x와 y의 값은 각각 x = 2, y = -1입니다. 대입법과 가감법 모두 동일한 결과를 도출하며, 해를 원래 방정식에 대입하여 검증하는 과정을 통해 정확성을 확인할 수 있습니다.