무한등비급수는 첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 모든 항을 더하는 급수입니다. 특히, 이 급수가 수렴하기 위한 조건과 그 합을 구하는 공식은 수학에서 매우 중요하게 다뤄집니다. 수렴 조건만 만족하면 간단한 공식으로 그 합을 구할 수 있기 때문에, 많은 학생들이 이 부분을 어려워하면서도 꼭 알아야 하는 내용으로 꼽습니다.
무한등비급수의 수렴 조건
무한등비급수가 수렴한다는 것은, 급수의 합이 일정한 값으로 가까워진다는 의미입니다. 이를 위해서는 공비 r의 값에 제한이 따릅니다. 무한등비급수가 수렴하기 위한 필요충분조건은 바로 공비 r의 절댓값이 1보다 작거나 같아야 한다는 것입니다. 즉, -1 < r ≤ 1 이어야 합니다.
하지만 여기서 주의해야 할 점이 있습니다. 만약 첫째항 a가 0이라면, 공비 r의 값에 상관없이 모든 항이 0이 되므로 급수의 합은 0이 됩니다. 따라서 엄밀히 말하면, 첫째항 a가 0이 아닌 경우 공비 r의 범위는 -1 < r < 1 이 됩니다. 하지만 일반적으로 첫째항 a가 0인 경우를 포함하여 이야기할 때는 -1 < r ≤ 1 이라고 표현하기도 합니다.
무한등비급수의 합 공식
무한등비급수가 수렴할 때, 즉 -1 < r < 1 (또는 a=0을 포함하여 -1 < r ≤ 1)일 때, 그 합 S는 다음과 같은 간단한 공식으로 구할 수 있습니다.
S = a / (1 - r)
여기서 a는 무한등비급수의 첫째항이고, r은 공비입니다. 이 공식은 무한히 많은 항을 더해도 그 값이 발산하지 않고 일정한 값으로 모이는 경우에만 적용됩니다. 만약 수렴 조건을 만족하지 못하면, 급수는 발산하게 되며 합을 구할 수 없습니다.
수렴 조건별 급수의 형태
- |r| < 1 (즉, -1 < r < 1): 이 경우 무한등비급수는 항상 수렴하며, 합은 S = a / (1 - r) 입니다. 예를 들어, 첫째항이 1이고 공비가 1/2인 등비수열 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... 의 합은 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2가 됩니다.
- r = 1: 이 경우 급수는 a + a + a + ... 가 됩니다. 만약 a가 0이 아니라면 이 급수는 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산합니다. a가 0이라면 합은 0입니다.
- r = -1: 이 경우 급수는 a - a + a - a + ... 가 됩니다. 만약 a가 0이 아니라면 이 급수는 진동하며 발산합니다. a가 0이라면 합은 0입니다.
- |r| > 1: 이 경우 급수는 무한대로 발산합니다. 예를 들어, 공비가 2인 등비수열 1, 2, 4, 8, ... 의 합은 무한대가 됩니다.
예제 풀이
예제 1: 첫째항이 3이고 공비가 1/3인 무한등비급수의 합을 구하시오.
풀이: 공비 r = 1/3 이므로 |r| < 1 입니다. 따라서 수렴 조건을 만족합니다. 합 S는 S = a / (1 - r) = 3 / (1 - 1/3) = 3 / (2/3) = 3 * (3/2) = 9/2 입니다.
예제 2: 첫째항이 2이고 공비가 -2인 무한등비급수는 수렴하는가?
풀이: 공비 r = -2 이므로 |r| = 2 > 1 입니다. 따라서 수렴 조건을 만족하지 못하며, 이 급수는 발산합니다.
무한등비급수의 합 공식을 제대로 이해하고 활용하기 위해서는 수렴 조건을 먼저 정확히 파악하는 것이 중요합니다. 수렴 조건을 만족하는 경우에만 공식을 적용하여 합을 구할 수 있다는 점을 꼭 기억하세요.