이차함수의 최대값과 최소값을 구하는 방법은 꼭짓점을 찾는 것이 핵심입니다. 이차함수는 그래프의 모양에 따라 꼭짓점에서 최대값 또는 최소값을 가지기 때문입니다. 이 글에서는 이차함수의 최대값과 최소값을 구하는 방법을 단계별로 자세히 설명하고, 다양한 예시를 통해 쉽게 이해할 수 있도록 돕겠습니다.
이차함수의 기본 형태 이해하기
이차함수는 일반적으로 $y = ax^2 + bx + c$ (단, $a \neq 0$) 형태로 나타내어집니다. 여기서 $a$의 부호에 따라 그래프의 모양이 결정됩니다. $a > 0$이면 아래로 볼록한 포물선 모양이며, 꼭짓점에서 최소값을 가집니다. 반대로 $a < 0$이면 위로 볼록한 포물선 모양이며, 꼭짓점에서 최대값을 가집니다.
꼭짓점을 이용한 최대/최소값 구하기
꼭짓점의 좌표를 구하는 가장 일반적인 방법은 완전제곱식 형태로 변형하는 것입니다. 예를 들어, $y = ax^2 + bx + c$를 $y = a(x-p)^2 + q$ 형태로 바꾸면 꼭짓점의 좌표는 $(p, q)$가 됩니다. 이때 $a > 0$이면 최소값은 $q$이고, $a < 0$이면 최대값은 $q$입니다.
예시 1: 최소값 구하기
함수 $y = x^2 - 4x + 5$의 최소값을 구해봅시다. 먼저 완전제곱식으로 변형합니다. $y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1$. 여기서 $a=1 > 0$이므로 아래로 볼록한 포물선이며, 꼭짓점은 $(2, 1)$입니다. 따라서 최소값은 1입니다.
예시 2: 최대값 구하기
함수 $y = -2x^2 + 8x - 3$의 최대값을 구해봅시다. 완전제곱식으로 변형하면 $y = -2(x^2 - 4x) - 3 = -2(x^2 - 4x + 4) + 8 - 3 = -2(x-2)^2 + 5$. 여기서 $a=-2 < 0$이므로 위로 볼록한 포물선이며, 꼭짓점은 $(2, 5)$입니다. 따라서 최대값은 5입니다.
제한된 범위에서의 최대/최소값
만약 이차함수의 정의역이 특정 범위로 제한된다면, 꼭짓점뿐만 아니라 범위의 양 끝값도 고려해야 합니다. 예를 들어, 함수 $y = x^2 - 4x + 5$의 정의역이 $1 \le x \le 3$으로 제한된다면, 꼭짓점의 $x$좌표인 2는 범위 안에 포함됩니다. 따라서 최소값은 꼭짓점에서의 함숫값인 1입니다. 하지만 최대값은 꼭짓점에서 멀리 떨어진 범위의 끝값 중 더 큰 함숫값을 가집니다. $x=1$일 때 $y = (1-2)^2 + 1 = 2$, $x=3$일 때 $y = (3-2)^2 + 1 = 2$이므로 최대값은 2입니다.
결론
이차함수의 최대값과 최소값을 구하는 핵심은 꼭짓점을 찾는 것입니다. $a$의 부호를 통해 그래프의 방향을 파악하고, 완전제곱식 변형을 통해 꼭짓점의 좌표를 구하면 최대값 또는 최소값을 쉽게 찾을 수 있습니다. 정의역에 제한이 있을 경우, 꼭짓점과 범위의 양 끝값을 모두 고려하여 최대값과 최소값을 결정해야 합니다. 이 방법들을 숙지하면 다양한 이차함수 문제를 해결하는 데 큰 도움이 될 것입니다.