루트2가 무리수인 이유, 명확하게 증명해 드립니다.
수학에서 '무리수'란 더 이상 분수로 나타낼 수 없는 수를 의미합니다. 흔히 파이(π)나 자연로그의 밑(e) 등이 무리수로 알려져 있죠. 그런데 우리에게 친숙한 '루트2(√2)' 역시 무리수라는 사실, 알고 계셨나요? 루트2는 약 1.41421356... 와 같이 끝없이 이어지는 소수점을 가지며, 이를 분수 형태로 정확하게 표현할 수 없습니다. 이번 글에서는 루트2가 왜 무리수인지, 수학적으로 어떻게 증명하는지 단계별로 쉽고 명확하게 설명해 드리겠습니다.
귀류법이란 무엇일까요?
루트2가 무리수임을 증명하기 위해 우리는 '귀류법'이라는 논리적인 증명 방법을 사용합니다. 귀류법은 어떤 명제가 참임을 증명하기 위해, 그 명제가 거짓이라고 가정한 뒤 논리적인 모순을 이끌어내어 결국 원래의 가정이 틀렸음을 보이는 방식입니다. 즉, '루트2가 무리수가 아니다'라고 가정하고 시작하여, 이 가정이 수학적으로 말이 되지 않는다는 것을 보여줌으로써 루트2가 무리수임을 증명하는 것이죠.
루트2가 유리수라고 가정해 봅시다.
귀류법에 따라, 먼저 루트2가 무리수가 아니라고 가정해 보겠습니다. 즉, 루트2는 유리수라고 가정하는 것입니다. 유리수는 두 정수의 비율, 즉 분수 형태로 나타낼 수 있는 수이므로, 루트2를 기약분수(더 이상 약분되지 않는 가장 간단한 형태의 분수) 'p/q'로 표현할 수 있다고 가정할 수 있습니다. 여기서 p와 q는 서로소인 정수이며, q는 0이 아닙니다. (p와 q가 서로소라는 것은 최대공약수가 1이라는 뜻으로, 더 이상 공통된 약수로 나눌 수 없다는 의미입니다.)
양변을 제곱하여 식을 정리해 봅시다.
가정에 따라 √2 = p/q 라고 쓸 수 있습니다. 이제 이 등식의 양변을 제곱해 보겠습니다. 그러면 (√2)² = (p/q)² 이 되고, 이는 2 = p²/q² 와 같이 정리됩니다. 이 식을 다시 변형하면, p² = 2q² 이라는 결과를 얻게 됩니다. 이 결과는 p²이 2의 배수, 즉 짝수라는 것을 의미합니다. 왜냐하면 어떤 수를 제곱해서 2배가 되었다는 것은 원래 수도 2의 배수여야 하기 때문입니다.
p가 짝수라면, p는 2k로 표현 가능합니다.
p²이 짝수라는 사실로부터 우리는 p 또한 짝수임을 알 수 있습니다. 짝수는 2의 배수이므로, p를 어떤 정수 k를 사용하여 2k라고 표현할 수 있습니다. 이제 이 p = 2k를 앞서 얻은 식 p² = 2q²에 대입해 보겠습니다. (2k)² = 2q² 이 되고, 이를 계산하면 4k² = 2q² 이 됩니다. 이 식을 다시 정리하면 q² = 2k² 이라는 새로운 결과를 얻게 됩니다. 이 결과는 q² 또한 2의 배수, 즉 짝수임을 의미합니다.
q 또한 짝수라는 모순 발생!
p²이 짝수이므로 p가 짝수임을 보였고, 이제 p² = 2q²에 p=2k를 대입하여 q² = 2k²을 얻음으로써 q² 또한 짝수임을 알게 되었습니다. 그렇다면 q 또한 짝수라는 결론에 도달하게 됩니다. 그런데 우리는 처음에 p와 q를 '서로소인 정수', 즉 더 이상 공약수를 가지지 않는 가장 간단한 분수 형태라고 가정했습니다. 하지만 p와 q가 모두 짝수라면, 두 수 모두 2라는 공통된 약수를 가지게 됩니다. 이는 처음에 했던 'p와 q는 서로소'라는 가정과 명백히 모순됩니다. 따라서 우리의 최초 가정, 즉 '루트2는 유리수'라는 가정이 틀렸다는 것이 증명된 것입니다. 이로써 루트2는 유리수가 아닌 무리수임이 명확하게 밝혀졌습니다.