3개 이상 수의 최소공배수 구하는 법: 쉬운 계산 원리 총정리

세 개 이상의 수에 대한 최소공배수를 구하는 것은 두 수의 최소공배수를 구하는 것보다 조금 더 복잡하게 느껴질 수 있습니다. 하지만 기본적인 원리를 이해하면 어렵지 않게 계산할 수 있습니다. 이 글에서는 3개 이상의 수에 대한 최소공배수(LCM, Least Common Multiple)를 구하는 가장 쉽고 효율적인 방법들을 단계별로 설명하고, 실제 예시를 통해 계산 과정을 상세히 보여드리겠습니다.

최소공배수란 무엇인가?

최소공배수는 두 개 이상의 정수들의 공통된 배수 중에서 가장 작은 수를 의미합니다. 예를 들어, 2와 3의 공배수는 6, 12, 18... 이고, 이 중에서 가장 작은 수는 6이므로 2와 3의 최소공배수는 6입니다. 이 개념을 세 개 이상의 수로 확장하면 됩니다.

세 개 이상의 수의 최소공배수 구하는 기본 원리

세 개 이상의 수의 최소공배수를 구하는 가장 일반적인 방법은 두 수씩 짝지어 최소공배수를 구하는 과정을 반복하는 것입니다. 예를 들어, 세 수 a, b, c의 최소공배수를 구하고 싶다면, 먼저 a와 b의 최소공배수를 구한 뒤, 그 결과값과 c의 최소공배수를 구하면 됩니다. 즉, LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c) 와 같은 원리입니다.

1단계: 두 수의 최소공배수 구하기

세 개 이상의 수에 대한 최소공배수를 구하기 위해서는 먼저 두 수의 최소공배수를 구하는 방법을 알아야 합니다. 두 수의 최소공배수를 구하는 방법은 크게 두 가지가 있습니다.

1. 배수 나열법: 각 수의 배수를 나열하다가 처음으로 나타나는 공통된 배수를 찾는 방법입니다. 이 방법은 수가 작을 때 직관적이지만, 수가 커지면 비효율적입니다.
2. 소인수분해 이용법: 각 수를 소인수분해한 후, 모든 소인수를 포함하되 각 소인수의 가장 높은 지수를 사용하여 곱하는 방법입니다. 예를 들어, 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² 이라면, 최소공배수는 2² × 3² = 4 × 9 = 36이 됩니다.

2단계: 여러 수의 최소공배수 구하기 (반복 적용)

이제 1단계에서 배운 두 수의 최소공배수 구하는 방법을 세 개 이상의 수에 적용해 봅시다. 예를 들어, 4, 6, 8의 최소공배수를 구한다고 가정해 보겠습니다.

1. 먼저 두 수, 예를 들어 4와 6의 최소공배수를 구합니다.

   • 4 = 2²
   • 6 = 2 × 3
   • LCM(4, 6) = 2² × 3 = 12

2. 이제 앞서 구한 최소공배수 12와 남은 수 8의 최소공배수를 구합니다.

   • 12 = 2² × 3
   • 8 = 2³
   • LCM(12, 8) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24

따라서 4, 6, 8의 최소공배수는 24입니다.

다른 예시: 3, 5, 10, 15의 최소공배수

1. LCM(3, 5) = 15 (3과 5는 서로소이므로 곱하면 됩니다.)
2. LCM(15, 10)
   • 15 = 3 × 5
   • 10 = 2 × 5
   • LCM(15, 10) = 2 × 3 × 5 = 30
3. LCM(30, 15)
   • 30 = 2 × 3 × 5
   • 15 = 3 × 5
   • LCM(30, 15) = 2 × 3 × 5 = 30

따라서 3, 5, 10, 15의 최소공배수는 30입니다.

공통 소인수 이용한 동시 소인수분해법

앞서 설명한 방법 외에, 세 개 이상의 수에 대한 최소공배수를 좀 더 효율적으로 구하는 방법으로 '공통 소인수 이용한 동시 소인수분해법'이 있습니다. 이 방법은 다음과 같습니다.

1. 구하려는 모든 수를 나열합니다.
2. 공통으로 나누어지는 가장 작은 소수를 찾아 나눕니다. 몫이 정수가 아니면 그대로 내려 씁니다.
3. 이 과정을 모든 수가 1이 될 때까지 반복합니다.
4. 나누었던 소수들과 나누어지지 않고 그대로 내려온 수들을 모두 곱하면 최소공배수가 됩니다.

예시: 6, 10, 15의 최소공배수

2 | 6, 10, 15
  ----------------
3 | 3,  5, 15
  ----------------
5 | 1,  5,  5
  ----------------
  | 1,  1,  1

• 2로 나누면 6은 3, 10은 5가 됩니다. 15는 2로 나누어 떨어지지 않으므로 그대로 내려옵니다.
• 다음으로 3으로 나눕니다. 3은 1, 5는 그대로 내려오고 15는 5가 됩니다.
• 마지막으로 5로 나눕니다. 모든 수가 1이 됩니다.

이제 나누었던 수(2, 3, 5)와 마지막에 남은 수(1, 1, 1)를 모두 곱합니다. 2 × 3 × 5 = 30.

따라서 6, 10, 15의 최소공배수는 30입니다. 이 방법은 여러 수를 한 번에 처리할 수 있어 편리합니다.

결론

세 개 이상의 수에 대한 최소공배수를 구하는 것은 처음에는 다소 복잡하게 느껴질 수 있으나, 두 수의 최소공배수 구하는 원리를 반복 적용하거나 공통 소인수를 이용한 동시 소인수분해법을 사용하면 누구나 쉽게 계산할 수 있습니다. 어떤 방법을 사용하든 핵심은 각 수의 소인수 구성 요소를 정확히 파악하는 것입니다. 꾸준히 연습하면 빠르고 정확하게 최소공배수를 구할 수 있게 될 것입니다.