세 점의 좌표로 삼각형 넓이 구하는 공식

세 점의 좌표를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 여러 가지가 있지만, 가장 대표적이고 활용도가 높은 방법은 '신발끈 공식' 또는 '사선 공식'이라고 불리는 것입니다. 이 공식은 고등학교 수학 과정에서 배우는 내용으로, 좌표 평면 위의 어떤 다각형의 넓이도 구할 수 있는 일반적인 방법의 기초가 됩니다.

신발끈 공식 (사선 공식)이란?

신발끈 공식은 삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 이용하여 넓이를 계산하는 방법입니다. 예를 들어, 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표가 각각 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)라고 할 때, 넓이 S는 다음과 같이 계산됩니다.

S = 1/2 |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) - (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)|

이 공식의 이름은 좌표를 나열하고 대각선으로 곱하는 과정이 신발끈을 묶는 모양과 비슷하다고 해서 붙여졌습니다. 여기서 '| |'는 절댓값을 의미하며, 넓이는 항상 양수여야 하므로 계산 결과가 음수가 나오더라도 양수로 바꿔주어야 합니다.

신발끈 공식 활용 예시

세 꼭짓점의 좌표가 A(1, 2), B(4, 5), C(7, 1)인 삼각형의 넓이를 신발끈 공식을 이용하여 구해봅시다.

1. 좌표를 세로로 나열합니다. 첫 번째 좌표를 다시 한번 맨 아래에 반복해서 적습니다. (1, 2) (4, 5) (7, 1) (1, 2) <- 첫 번째 좌표 반복

2. 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 대각선으로 곱한 값들의 합을 구합니다. (1 * 5) + (4 * 1) + (7 * 2) = 5 + 4 + 14 = 23

3. 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 대각선으로 곱한 값들의 합을 구합니다. (2 * 4) + (5 * 7) + (1 * 1) = 8 + 35 + 1 = 44

4. 두 합의 차이를 구하고 절댓값을 취한 후 1/2을 곱합니다. S = 1/2 |23 - 44| = 1/2 |-21| = 1/2 * 21 = 10.5

따라서 이 삼각형의 넓이는 10.5입니다.

다른 방법: 행렬식 이용

신발끈 공식은 행렬식을 이용하여 더 간결하게 표현할 수도 있습니다. 세 꼭짓점의 좌표를 이용한 행렬식을 구성하면 다음과 같습니다.

| x₁  y₁  1 |
| x₂  y₂  1 |
| x₃  y₃  1 |

이 행렬식의 값에 1/2의 절댓값을 취하면 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

S = 1/2 |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

이 공식은 신발끈 공식과 동일한 결과를 제공하며, 벡터나 선형대수학에서 더 자주 사용될 수 있습니다. 계산 과정은 신발끈 공식과 유사하지만, 행렬식의 전개 원리를 따른다는 점에서 차이가 있습니다.

주의사항

• 좌표의 순서: 신발끈 공식을 사용할 때 좌표를 나열하는 순서는 시계 방향 또는 반시계 방향으로 연속되게 나열해야 합니다. 순서가 뒤섞이면 다른 결과가 나올 수 있습니다.
• 절댓값: 계산 결과가 음수가 나올 수 있으므로 반드시 절댓값을 취해야 합니다. 넓이는 음수가 될 수 없습니다.
• 공식 암기: 신발끈 공식은 처음에는 다소 복잡해 보일 수 있으나, 몇 번 연습하면 쉽게 익숙해질 수 있습니다. 좌표를 나열하고 대각선으로 곱하는 패턴을 기억하는 것이 중요합니다.