좌표평면에서 삼각형의 수심은 세 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점을 의미합니다. 수심의 좌표를 구하는 공식은 여러 가지 방법으로 유도할 수 있지만, 가장 일반적인 방법은 두 개의 수선의 방정식을 구한 후 교점을 찾는 것입니다.
수선의 방정식 구하기
삼각형의 세 꼭짓점을 각각 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)라고 할 때, 꼭짓점 A에서 대변 BC에 내린 수선의 방정식을 구해봅시다.
먼저, 변 BC의 기울기를 m_BC라고 하면 다음과 같이 계산됩니다.
m_BC = (y3 - y2) / (x3 - x2)
수선은 변 BC와 수직이므로, 수선의 기울기 m_A는 다음과 같습니다.
m_A = -1 / m_BC = -(x3 - x2) / (y3 - y2)
이제 꼭짓점 A(x1, y1)를 지나고 기울기가 m_A인 수선의 방정식은 점-기울기 형태를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
y - y1 = m_A * (x - x1)
마찬가지 방법으로 꼭짓점 B에서 대변 AC에 내린 수선의 방정식을 구할 수 있습니다. 변 AC의 기울기 m_AC는 다음과 같습니다.
m_AC = (y3 - y1) / (x3 - x1)
점 B(x2, y2)를 지나고 기울기가 m_B = -1 / m_AC = -(x3 - x1) / (y3 - y1)인 수선의 방정식은 다음과 같습니다.
y - y2 = m_B * (x - x2)
수선의 교점(수심) 찾기
두 개의 수선의 방정식을 얻었다면, 이 두 방정식을 연립하여 풀면 수심의 좌표 (x, y)를 구할 수 있습니다.
첫 번째 수선의 방정식: y - y1 = -(x3 - x2) / (y3 - y2) * (x - x1)
두 번째 수선의 방정식: y - y2 = -(x3 - x1) / (y3 - y1) * (x - x2)
이 두 방정식을 x와 y에 대해 풀면 수심의 좌표를 얻을 수 있습니다. 계산 과정이 다소 복잡할 수 있으므로, 실제 문제에서는 좌표를 대입하여 계산하는 것이 일반적입니다.
주의사항
분모가 0이 되는 경우, 즉 수평선이나 수직선이 포함된 경우에는 기울기를 계산할 때 주의해야 합니다. 예를 들어, 변 BC가 수평선이면 x3 = x2이고, 변 BC가 수직선이면 y3 = y2입니다. 이런 경우에는 기울기 대신 방정식의 형태를 직접 사용해야 합니다.