일반적으로 팩토리얼은 0 또는 양의 정수에 대해서만 정의됩니다. 즉, n!은 1부터 n까지의 모든 양의 정수를 곱한 값으로, n이 음수일 경우에는 해당되지 않습니다. 예를 들어, 3! = 3 × 2 × 1 = 6이며, 0!은 1로 정의됩니다.
음수 팩토리얼의 부재 수학에서 팩토리얼은 곱셈의 반복을 기반으로 하므로, 음수에서는 이러한 정의를 확장하기 어렵습니다. 만약 음수 팩토리얼을 정의하려고 시도하면, 0으로 나누는 등의 수학적 모순에 직면하게 됩니다. 예를 들어, n! = n × (n-1)! 이라는 관계식을 이용하여 역으로 계산한다고 가정해 봅시다. (-1)!을 구하기 위해 0! = 0 × (-1)! 이라는 식을 사용하면, 1 = 0 × (-1)! 이 되어버립니다. 이는 어떤 수를 곱해도 1이 될 수 없으므로 모순입니다.
감마 함수와 팩토리얼의 확장 하지만 수학자들은 팩토리얼의 개념을 복소수 범위까지 확장하기 위해 '감마 함수(Gamma Function)'라는 것을 도입했습니다. 감마 함수는 Γ(z)로 표기하며, 양의 실수 z에 대해 다음과 같이 정의됩니다.
Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1)e⁻ᵗ dt
이 감마 함수는 팩토리얼과 다음과 같은 관계를 가집니다.
Γ(n+1) = n!
감마 함수를 이용하면 팩토리얼을 실수 전체(단, 음의 정수는 제외)로 확장할 수 있습니다. 예를 들어, Γ(1) = 0! = 1, Γ(2) = 1! = 1, Γ(3) = 2! = 2, Γ(4) = 3! = 6 입니다.
음의 정수에서의 감마 함수 감마 함수는 또한 다음과 같은 점화식을 만족합니다.
Γ(z+1) = zΓ(z)
이 식을 z에 대해 정리하면 Γ(z) = Γ(z+1) / z 가 됩니다. 이 관계식을 이용하여 감마 함수를 음수 영역으로 확장할 수 있습니다. 예를 들어, z = -1을 대입하면 Γ(-1) = Γ(0) / -1 이 됩니다. 하지만 Γ(0) 역시 정의되지 않으므로, 감마 함수 또한 음의 정수에서는 정의되지 않습니다. 즉, -1!, -2!, -3! 등은 여전히 정의되지 않는 값입니다.
결론 따라서, 수학적으로 -1!, -2!, -3! 과 같이 마이너스가 들어간 팩토리얼은 정의되지 않습니다. 팩토리얼은 기본적으로 0 이상의 정수에 대해서만 유효한 연산입니다. 감마 함수를 통해 팩토리얼의 개념을 확장할 수는 있지만, 음의 정수에서의 팩토리얼은 여전히 정의되지 않습니다.