108에 가장 작은 자연수 a를 곱하여 어떤 자연수 b의 제곱이 되게 하는 문제의 핵심은 108의 소인수분해 결과에서 지수가 짝수가 되도록 만드는 것입니다. 이 과정을 통해 a와 b를 구하고, 최종적으로 a+b의 값을 계산할 수 있습니다.
108의 소인수분해 및 제곱수 만들기
먼저 108을 소인수분해합니다. 108은 2로 나누어 떨어지므로 108 = 2 * 54입니다. 54도 2로 나누어 떨어지므로 54 = 2 * 27입니다. 따라서 108 = 2 * 2 * 27이 됩니다. 27은 3으로 나누어 떨어지므로 27 = 3 * 9이고, 9는 3 * 3입니다. 이를 종합하면 108 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3, 즉 108 = 2^2 * 3^3 입니다.
어떤 자연수의 제곱이 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다. 현재 108의 소인수분해 결과는 2^2 * 3^3 입니다. 여기서 소인수 2의 지수는 2로 짝수이지만, 소인수 3의 지수는 3으로 홀수입니다. 따라서 108에 가장 작은 자연수 a를 곱하여 제곱수를 만들려면, 홀수인 지수를 가진 소인수 3에 3을 한 번 더 곱해주어 지수를 짝수(3+1=4)로 만들어야 합니다. 즉, a는 3이 됩니다.
a와 b의 값 구하기
a = 3으로 결정되었으므로, 108에 a를 곱한 값은 108 * 3 = (2^2 * 3^3) * 3 = 2^2 * 3^4 입니다. 이 값은 (2^1 * 3^2)^2 = (2 * 9)^2 = 18^2 과 같이 어떤 자연수의 제곱이 됩니다. 문제에서 이 어떤 자연수를 b라고 했으므로, b = 18이 됩니다.
a+b의 값 계산
이제 구한 a와 b의 값을 더하면 됩니다. a = 3이고 b = 18이므로, a + b = 3 + 18 = 21입니다.
따라서 108에 가장 작은 자연수 a를 곱하여 어떤 자연수 b의 제곱이 되게 할 때, a+b의 값은 21입니다.