5/28과 8/35의 공배수 중 가장 작은 분수를 구하는 문제는 분수의 최소공배수를 찾는 문제입니다. 결론부터 말하자면, 두 분수의 최소공배수는 8/7입니다. 이 값을 구하는 과정은 다음과 같습니다.
분수의 최소공배수 구하는 원리
두 분수 a/b와 c/d의 최소공배수를 구하려면, 분자의 최소공배수를 구하고 분모의 최대공약수를 구하여 나누면 됩니다. 즉, (분자들의 최소공배수) / (분모들의 최대공약수) 입니다.
문제에 적용하기
주어진 두 분수는 5/28과 8/35입니다. 이 분수들의 최소공배수를 구하기 위해 분자와 분모를 분리하여 생각해보겠습니다.
-
분자들의 최소공배수 구하기: 분자는 5와 8입니다. 5와 8은 서로소 관계이므로, 두 수의 최소공배수는 두 수를 곱한 값과 같습니다. 따라서 5 × 8 = 40입니다.
-
분모들의 최대공약수 구하기: 분모는 28과 35입니다. 두 수의 최대공약수를 구하기 위해 소인수분해를 이용합니다.
- 28 = 2² × 7
- 35 = 5 × 7 두 수의 공통인 소인수는 7이므로, 28과 35의 최대공약수는 7입니다.
-
최소공배수 계산: 이제 분자들의 최소공배수(40)를 분모들의 최대공약수(7)로 나눕니다. 따라서 40 / 7 = 40/7 입니다.
검증
구한 값 40/7이 5/28과 8/35의 공배수 중 가장 작은 수인지 확인해보겠습니다.
- (40/7) ÷ (5/28) = (40/7) × (28/5) = (40 × 28) / (7 × 5) = (8 × 5 × 4 × 7) / (7 × 5) = 8 × 4 = 32 (자연수)
- (40/7) ÷ (8/35) = (40/7) × (35/8) = (40 × 35) / (7 × 8) = (5 × 8 × 5 × 7) / (7 × 8) = 5 × 5 = 25 (자연수)
두 경우 모두 자연수가 되는 것을 확인할 수 있습니다. 따라서 5/28과 8/35에 각각 곱하여 자연수가 되게 하는 분수 중 가장 작은 수는 40/7입니다.