이차함수의 그래프는 포물선 형태를 띠며, x축과의 교점의 개수는 판별식 D의 부호에 따라 결정됩니다. 판별식 D는 이차방정식 ax^2 + bx + c = 0 에서 D = b^2 - 4ac 로 계산되며, 이 값에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 나눌 수 있습니다.
첫째, D > 0 일 경우, 이차함수는 x축과 두 점에서 만납니다. 즉, 서로 다른 두 실근을 가집니다. 둘째, D = 0 일 경우, 이차함수는 x축과 한 점에서 접합니다. 즉, 중근을 가집니다. 셋째, D < 0 일 경우, 이차함수는 x축과 만나지 않습니다. 즉, 실근을 가지지 않고 두 허근을 가집니다.
질문에서 '모든 실수 x에 대하여 판별식 D가 0보다 작나요?'라고 하셨는데, 이는 질문의 맥락상 '모든 실수 x에 대하여 이차함수 f(x)의 값이 항상 양수이거나 항상 음수인가?'를 묻는 것으로 해석할 수 있습니다. 왜냐하면 판별식 D는 이차방정식의 근의 개수를 판별하는 값이지, 함수의 모든 x 값에 대한 부호를 직접적으로 나타내는 값은 아니기 때문입니다.
만약 '모든 실수 x에 대하여 이차함수 f(x) > 0' 이거나 '모든 실수 x에 대하여 f(x) < 0' 이 성립하는 경우를 찾는다면, 이는 판별식 D < 0 과 관련이 있습니다.
이차함수 f(x) = ax^2 + bx + c 에서
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만약 a > 0 이고 D < 0 이라면, 이차함수의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이며 x축과 만나지 않습니다. 따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x) > 0 입니다. 즉, 함수값은 항상 양수입니다.
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만약 a < 0 이고 D < 0 이라면, 이차함수의 그래프는 위로 볼록한 포물선이며 x축과 만나지 않습니다. 따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x) < 0 입니다. 즉, 함수값은 항상 음수입니다.
따라서 '모든 실수 x에 대하여 판별식 D가 0보다 작은 이차함수가 존재하나요?'라는 질문은, '모든 실수 x에 대하여 이차함수의 값이 항상 양수이거나 항상 음수가 되는 경우, 이때 이차방정식의 판별식 D의 부호는 어떻게 되는가?'라는 질문으로 이해할 수 있으며, 그 답은 '그렇다' 입니다. 이러한 경우 이차방정식의 판별식 D는 항상 0보다 작습니다.
예를 들어, 이차함수 f(x) = x^2 + x + 1 을 생각해 봅시다. 이 이차함수의 최고차항의 계수 a = 1 (양수)이고, 판별식 D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 입니다. 판별식 D가 0보다 작으므로 이 이차함수는 x축과 만나지 않습니다. 또한 최고차항의 계수가 양수이므로 아래로 볼록한 포물선이며, 따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x) > 0 입니다.
또 다른 예로, 이차함수 g(x) = -x^2 + 2x - 2 를 생각해 봅시다. 이 이차함수의 최고차항의 계수 a = -1 (음수)이고, 판별식 D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(-2) = 4 - 8 = -4 입니다. 판별식 D가 0보다 작으므로 이 이차함수는 x축과 만나지 않습니다. 또한 최고차항의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 포물선이며, 따라서 모든 실수 x에 대하여 g(x) < 0 입니다.
결론적으로, 모든 실수 x에 대하여 이차함수의 값이 항상 양수이거나 항상 음수가 되는 경우는 판별식 D가 0보다 작은 경우이며, 이러한 이차함수는 항상 존재합니다.