주어진 조건은 a+b=4와 ab=2입니다. 우리가 구해야 할 값은 a/b + b/a입니다.
먼저, a/b + b/a를 통분하여 간단하게 만들어 봅시다. 두 분수의 공통 분모는 ab이므로, 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
a/b + b/a = (aa)/(ba) + (bb)/(ab) = (a^2 + b^2) / ab
이제 분자 부분인 a^2 + b^2의 값을 구해야 합니다. 우리는 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 공식을 알고 있습니다. 이 식을 변형하면 a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab가 됩니다.
주어진 조건 a+b=4와 ab=2를 이 식에 대입해 봅시다. a^2 + b^2 = (4)^2 - 2*(2) a^2 + b^2 = 16 - 4 a^2 + b^2 = 12
이제 우리가 통분하여 얻은 식 (a^2 + b^2) / ab에 a^2 + b^2 = 12와 ab=2를 대입하면 됩니다.
a/b + b/a = (a^2 + b^2) / ab = 12 / 2 = 6
따라서, a+b=4, ab=2일 때 a/b+b/a의 값은 6입니다.
이 문제는 대수학의 기본적인 곱셈 공식과 분수 계산 능력을 활용하는 문제입니다. 특히, 두 변수의 합과 곱이 주어졌을 때, 두 변수의 제곱의 합을 구하는 과정이 중요합니다. 이는 다양한 방정식 문제나 함수의 최댓값, 최솟값을 구하는 문제 등에서 응용될 수 있습니다. 예를 들어, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용할 때 두 근의 합과 곱을 알면 두 근의 제곱의 합을 쉽게 구할 수 있습니다.
또한, 이 문제는 단순히 계산하는 것을 넘어, 주어진 식을 어떻게 변형하고 어떤 공식을 적용해야 효율적으로 문제를 해결할 수 있는지에 대한 전략적 사고를 요구합니다. 복잡해 보이는 식이라도 기본적인 대수적 조작을 통해 단순화할 수 있다는 점을 보여줍니다.
이러한 유형의 문제는 수학 경시대회나 입학 시험 등에서 자주 출제되는 편이며, 기본적인 대수학 개념을 탄탄히 다지는 데 도움이 됩니다. 연습을 통해 다양한 변형과 공식 적용에 익숙해지는 것이 중요합니다.