두 평면의 교선 방정식을 구하는 것은 벡터 단원에서 중요한 개념 중 하나입니다. 두 평면이 만날 때 생기는 직선, 즉 교선의 방정식을 구하는 방법을 단계별로 자세히 알아보겠습니다.
교선 방정식의 기본 원리
두 평면의 교선은 두 평면 모두에 속하는 점들의 집합으로 이루어진 직선입니다. 따라서 이 직선은 두 평면의 법선 벡터에 모두 수직이 됩니다. 벡터 단원에서 두 평면의 방정식이 다음과 같이 주어졌다고 가정해 봅시다.
평면 1: $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$, 법선 벡터 $\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)$ 평면 2: $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$, 법선 벡터 $\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)$
교선은 두 평면에 공통으로 속하므로, 교선 위의 임의의 점 $(x, y, z)$는 두 평면의 방정식을 모두 만족해야 합니다. 또한, 교선은 직선이므로 방향 벡터를 가집니다. 이 방향 벡터는 두 평면의 법선 벡터 $\vec{n_1}$과 $\vec{n_2}$에 모두 수직이어야 합니다. 두 벡터에 모두 수직인 벡터는 외적(cross product)을 통해 구할 수 있습니다.
교선 방정식 구하는 단계
1단계: 교선의 방향 벡터 구하기
교선은 두 평면의 법선 벡터 $\vec{n_1}$과 $\vec{n_2}$에 모두 수직인 직선이므로, 교선의 방향 벡터 $\vec{v}$는 $\vec{n_1}$과 $\vec{n_2}$의 외적, 즉 $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$로 구할 수 있습니다.
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = (b_1c_2 - b_2c_1)\mathbf{i} - (a_1c_2 - a_2c_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$
따라서 방향 벡터 $\vec{v} = (b_1c_2 - b_2c_1, -(a_1c_2 - a_2c_1), a_1b_2 - a_2b_1)$ 입니다.
2단계: 교선 위의 한 점 찾기
교선은 무수히 많은 점을 포함하는 직선입니다. 이 중 한 점만 찾으면 방향 벡터와 함께 직선의 방정식을 완성할 수 있습니다. 교선 위의 한 점을 찾기 위해, 두 평면의 방정식에서 미지수 하나를 임의의 값으로 설정하고 나머지 두 미지수를 연립하여 구할 수 있습니다. 예를 들어, $z=0$을 대입하여 $x$와 $y$에 대한 연립방정식을 풀면 교선이 $z$축과 만나는 점 (만약 존재한다면) 또는 $z=0$ 평면과 교선이 만나는 점을 찾을 수 있습니다. 만약 $z=0$으로 두었을 때 해가 존재하지 않거나 특정 미지수가 소거된다면, 다른 값을 대입하거나 다른 미지수를 소거하는 방식으로 점을 찾아야 합니다.
예를 들어, $z=0$을 대입하여 다음과 같은 연립방정식을 얻었다고 합시다.
$a_1x + b_1y + d_1 = 0$ $a_2x + b_2y + d_2 = 0$
이 연립방정식을 풀어 $(x_0, y_0)$를 구하면, 교선 위의 한 점 $P_0 = (x_0, y_0, 0)$을 얻을 수 있습니다.
3단계: 교선 방정식 세우기
이제 교선의 방향 벡터 $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$와 교선 위의 한 점 $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$를 알았으므로, 직선의 방정식 형태로 교선 방정식을 세울 수 있습니다.
매개변수 방정식: $x = x_0 + v_xt$, $y = y_0 + v_yt$, $z = z_0 + v_zt$ (단, $t$는 실수)
표준 방정식: $\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$ (단, $v_x, v_y, v_z$가 0이 아닐 경우)
만약 방향 벡터의 성분 중 0이 있다면, 표준 방정식은 다음과 같이 표현됩니다.
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$v_x = 0$ 이면: $\frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$ 이고 $x = x_0$
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$v_y = 0$ 이면: $\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{z - z_0}{v_z}$ 이고 $y = y_0$
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$v_z = 0$ 이면: $\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y}$ 이고 $z = z_0$
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$v_x = 0, v_y = 0$ 이면: $x = x_0, y = y_0$ 이고 $z$는 임의의 값 (이 경우 교선은 $z$축에 평행한 직선입니다.)
예시 문제
두 평면 $x + y + z - 1 = 0$ 과 $2x - y + z + 2 = 0$ 의 교선 방정식을 구해봅시다.
1단계: 방향 벡터 구하기
평면 1의 법선 벡터: $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$ 평면 2의 법선 벡터: $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$
교선의 방향 벡터 $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 1 & 1 \ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - (-1))\mathbf{i} - (1 - 2)\mathbf{j} + (-1 - 2)\mathbf{k} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 3\mathbf{k}$
따라서 방향 벡터 $\vec{v} = (2, 1, -3)$ 입니다.
2단계: 교선 위의 한 점 찾기
$z=0$을 두 평면의 방정식에 대입해 봅시다.
$x + y - 1 = 0 2x - y + 2 = 0$
두 식을 더하면 $3x + 1 = 0$, 즉 $x = -1/3$ 입니다.
$x = -1/3$을 첫 번째 식에 대입하면 $-1/3 + y - 1 = 0$, 따라서 $y = 4/3$ 입니다.
교선 위의 한 점은 $P_0 = (-1/3, 4/3, 0)$ 입니다.
3단계: 교선 방정식 세우기
방향 벡터 $\vec{v} = (2, 1, -3)$ 이고, 한 점 $P_0 = (-1/3, 4/3, 0)$ 이므로, 교선의 방정식은 다음과 같습니다.
매개변수 방정식: $x = -1/3 + 2t$, $y = 4/3 + t$, $z = -3t$ (단, $t$는 실수)
표준 방정식: $\frac{x + 1/3}{2} = \frac{y - 4/3}{1} = \frac{z}{-3}$
이 과정을 통해 두 평면의 교선 방정식을 구하는 방법을 이해할 수 있습니다. 핵심은 두 법선 벡터의 외적으로 방향 벡터를 구하고, 두 평면의 방정식을 연립하여 교선 위의 한 점을 찾는 것입니다.