한 개의 주사위를 던질 때 나오는 눈의 수 X의 분산을 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 분산은 확률 변수가 기댓값으로부터 얼마나 떨어져 있는지 나타내는 값으로, 데이터의 퍼짐 정도를 측정하는 지표입니다. 주사위와 같이 확률적인 사건에서 분산을 계산하는 것은 확률 분포를 이해하는 데 중요한 부분입니다.
확률 변수와 확률 분포 정의하기
먼저, 한 개의 주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 수를 확률 변수 X라고 정의합니다. 주사위는 1부터 6까지의 눈이 나올 수 있으며, 각 눈이 나올 확률은 모두 동일하게 1/6입니다. 따라서 확률 변수 X의 확률 분포는 다음과 같습니다.
P(X=1) = 1/6 P(X=2) = 1/6 P(X=3) = 1/6 P(X=4) = 1/6 P(X=5) = 1/6 P(X=6) = 1/6
기댓값(평균) 계산하기
분산을 계산하기 위해서는 먼저 확률 변수 X의 기댓값, 즉 평균(E[X])을 구해야 합니다. 기댓값은 각 확률 변수 값에 해당 확률을 곱하여 모두 더한 값입니다.
E[X] = Σ [x * P(X=x)] E[X] = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) E[X] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 E[X] = 21 / 6 E[X] = 3.5
따라서 한 개의 주사위를 던질 때 나오는 눈의 수의 평균은 3.5입니다.
분산 계산하기
분산(Var(X))은 두 가지 방법으로 계산할 수 있습니다. 첫 번째 방법은 각 확률 변수 값이 기댓값으로부터 떨어진 정도의 제곱에 해당 확률을 곱하여 모두 더하는 것입니다.
Var(X) = E[(X - E[X])²] Var(X) = Σ [(x - E[X])² * P(X=x)]
계산 과정은 다음과 같습니다.
(1 - 3.5)² * (1/6) = (-2.5)² * (1/6) = 6.25 * (1/6) (2 - 3.5)² * (1/6) = (-1.5)² * (1/6) = 2.25 * (1/6) (3 - 3.5)² * (1/6) = (-0.5)² * (1/6) = 0.25 * (1/6) (4 - 3.5)² * (1/6) = (0.5)² * (1/6) = 0.25 * (1/6) (5 - 3.5)² * (1/6) = (1.5)² * (1/6) = 2.25 * (1/6) (6 - 3.5)² * (1/6) = (2.5)² * (1/6) = 6.25 * (1/6)
이 값들을 모두 더하면:
Var(X) = (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25) / 6 Var(X) = 17.5 / 6 Var(X) ≈ 2.9167
분산 계산의 다른 방법
두 번째 분산 계산 방법은 다음과 같은 공식을 이용하는 것입니다. 이 방법이 계산이 더 간편할 수 있습니다.
Var(X) = E[X²] - (E[X])²
먼저 E[X²]를 계산합니다. E[X²]는 각 확률 변수 값의 제곱에 해당 확률을 곱하여 모두 더한 값입니다.
E[X²] = Σ [x² * P(X=x)] E[X²] = (1² * 1/6) + (2² * 1/6) + (3² * 1/6) + (4² * 1/6) + (5² * 1/6) + (6² * 1/6) E[X²] = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 E[X²] = 91 / 6 E[X²] ≈ 15.1667
이제 이 값을 분산 공식에 대입합니다.
Var(X) = E[X²] - (E[X])² Var(X) = (91/6) - (3.5)² Var(X) = (91/6) - (7/2)² Var(X) = (91/6) - (49/4)
통분을 하여 계산하면:
Var(X) = (182/12) - (147/12) Var(X) = 35/12 Var(X) ≈ 2.9167
결론
따라서 한 개의 주사위를 던질 때 나오는 눈의 수 X의 분산은 35/12, 약 2.9167입니다. 분산은 데이터가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 중요한 통계적 지표이며, 이 계산을 통해 주사위 눈의 수 분포의 퍼짐 정도를 수치화할 수 있습니다.