1부터 100까지의 짝수와 홀수의 합을 구하는 방법에 대해 궁금하시군요. 이 문제는 등차수열의 합 공식을 이용하면 쉽고 빠르게 해결할 수 있습니다. 짝수와 홀수의 합을 각각 구하는 방법과 그 원리를 자세히 설명해 드리겠습니다.
1부터 100까지 짝수의 합 구하기
먼저 1부터 100까지의 짝수는 2, 4, 6, ..., 100입니다. 이는 첫째항이 2이고 공차가 2인 등차수열을 이룹니다. 이 수열의 항의 개수를 구해야 하는데, 마지막 항인 100이 몇 번째 항인지 계산하면 됩니다. 등차수열의 일반항 공식 $a_n = a_1 + (n-1)d$를 이용하면, $100 = 2 + (n-1)2$가 됩니다. 이 식을 풀면 $98 = (n-1)2$, $49 = n-1$, 따라서 $n=50$이 됩니다. 즉, 1부터 100까지는 총 50개의 짝수가 있습니다.
이제 등차수열의 합 공식을 사용하여 짝수의 합을 구합니다. 등차수열의 합 공식 $S_n = rac{n}{2}(a_1 + a_n)$을 이용하면, $S_{50} = rac{50}{2}(2 + 100) = 25 imes 102 = 2550$이 됩니다. 따라서 1부터 100까지 짝수의 합은 2550입니다.
1부터 100까지 홀수의 합 구하기
다음으로 1부터 100까지의 홀수는 1, 3, 5, ..., 99입니다. 이 역시 첫째항이 1이고 공차가 2인 등차수열을 이룹니다. 홀수의 개수를 구하기 위해 일반항 공식을 사용하면, $99 = 1 + (n-1)2$가 됩니다. 이 식을 풀면 $98 = (n-1)2$, $49 = n-1$, 따라서 $n=50$이 됩니다. 1부터 100까지는 총 50개의 홀수가 있습니다.
등차수열의 합 공식을 사용하여 홀수의 합을 구합니다. $S_{50} = rac{50}{2}(1 + 99) = 25 imes 100 = 2500$이 됩니다. 따라서 1부터 100까지 홀수의 합은 2500입니다.
간단한 공식 활용
사실, 1부터 $n$까지의 홀수의 합은 $n^2$이라는 매우 간단한 공식이 있습니다. 1부터 100까지 홀수가 50개이므로, 홀수의 합은 $50^2 = 2500$이 됩니다. 이는 위에서 계산한 결과와 동일합니다.
또한, 1부터 $2n$까지의 짝수의 합은 $n(n+1)$이라는 공식도 있습니다. 1부터 100까지는 2부터 100까지 짝수가 있으므로, $2n=100$ 즉 $n=50$이 됩니다. 따라서 짝수의 합은 $50(50+1) = 50 imes 51 = 2550$이 됩니다. 이 공식들을 활용하면 더욱 빠르게 답을 구할 수 있습니다.
짝수와 홀수의 합 비교
1부터 100까지 짝수의 합은 2550이고, 홀수의 합은 2500입니다. 짝수의 합이 홀수의 합보다 50만큼 더 큽니다. 이는 100개의 숫자 중에서 짝수가 홀수보다 각 쌍마다 1씩 더 크기 때문입니다. 예를 들어 (2-1), (4-3), ..., (100-99) 와 같이 50개의 쌍이 있고, 각 쌍의 차이가 1이므로 총 50만큼 짝수의 합이 더 커지게 됩니다.
결론
1부터 100까지 짝수의 합은 2550이며, 홀수의 합은 2500입니다. 등차수열의 합 공식을 이용하거나, 홀수의 합은 $n^2$, 짝수의 합은 $n(n+1)$ 공식을 활용하면 이 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다. 이처럼 수학 공식을 이해하고 적용하는 것은 복잡해 보이는 문제도 간단하게 만들어 줍니다.