x축 위에 있는 점을 P(x, 0)이라고 가정하고, 점 P에서 두 점 A와 B까지의 거리가 같다는 조건을 이용하여 방정식을 세워 x 값을 구하는 문제입니다. 이 문제는 두 점 사이의 거리 공식을 이해하고 이를 활용하는 능력을 평가합니다.
1. x축 위의 점 P 설정 x축 위에 있는 임의의 점 P의 좌표를 (x, 0)으로 설정합니다. x축 위의 점은 y좌표가 항상 0이기 때문입니다.
2. 두 점 사이의 거리 공식 활용 두 점 (x1, y1)과 (x2, y2) 사이의 거리는 $\sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2}$ 입니다. 이를 이용하여 점 P와 점 A(1, 1) 사이의 거리 PA와 점 P와 점 B(2, 4) 사이의 거리 PB를 구합니다.
- PA = $\sqrt{(x-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + 1}$
- PB = $\sqrt{(x-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + 16}$
3. 거리 같다는 조건으로 방정식 세우기 문제에서 점 P는 두 점 A와 B로부터 같은 거리에 있다고 했으므로, PA = PB 입니다. 거리 공식에서 제곱근 안의 값들이 같다고 놓아도 무방합니다. 즉, $PA^2 = PB^2$ 입니다.
- $(x-1)^2 + 1 = (x-2)^2 + 16$
4. 방정식 풀기 이제 위에서 세운 방정식을 전개하여 x 값을 구합니다.
- $(x^2 - 2x + 1) + 1 = (x^2 - 4x + 4) + 16$
- $x^2 - 2x + 2 = x^2 - 4x + 20$
양변의 $x^2$ 항은 소거됩니다.
- $-2x + 2 = -4x + 20$
x 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항합니다.
- $-2x + 4x = 20 - 2$
- $2x = 18$
- $x = 9$
5. 최종 좌표 구하기 따라서 x축 위에 있으면서 두 점 A와 B로부터 같은 거리에 있는 점 P의 x좌표는 9입니다. 점 P는 x축 위에 있으므로 y좌표는 0입니다. 그러므로 구하는 점의 좌표는 (9, 0)입니다.
정리 이 문제는 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 x축 위의 점을 (x, 0)으로 설정하고, 두 거리의 제곱이 같다는 조건으로 x에 대한 방정식을 세워 풀이하는 과정을 포함합니다. 최종적으로 x=9를 얻었으므로, 답은 (9, 0)입니다.