x=2일 때 접선의 방정식 구하기: y = x^3 - x + 1
함수 y = x^3 - x + 1 에서 x=2일 때의 접선의 방정식을 구하는 방법을 단계별로 알아보겠습니다. 접선의 방정식은 기본적으로 한 점과 기울기를 알면 구할 수 있습니다. 따라서 우리는 x=2일 때의 y값(접점의 y좌표)과 해당 지점에서의 미분값(접선의 기울기)을 계산해야 합니다.
1단계: 접점의 y좌표 구하기
x=2에서의 y값을 구하기 위해 주어진 함수에 x=2를 대입합니다.
y = (2)^3 - (2) + 1 y = 8 - 2 + 1 y = 7
따라서 접점의 좌표는 (2, 7)입니다.
2단계: 접선의 기울기 구하기 (미분 활용)
접선의 기울기는 해당 지점에서의 함수의 미분값과 같습니다. 먼저 함수 y = x^3 - x + 1 을 x에 대해 미분합니다.
y' = d/dx (x^3 - x + 1) y' = 3x^2 - 1
이제 x=2에서의 미분값, 즉 접선의 기울기를 구합니다. x=2를 미분된 함수에 대입합니다.
m = 3(2)^2 - 1 m = 3(4) - 1 m = 12 - 1 m = 11
따라서 x=2에서의 접선의 기울기는 11입니다.
3단계: 접선의 방정식 세우기
이제 우리는 접점 (2, 7)과 기울기 m=11을 알고 있습니다. 점-기울기 형태의 직선 방정식을 사용하여 접선의 방정식을 세울 수 있습니다. 점-기울기 형태는 다음과 같습니다: y - y1 = m(x - x1)
이 공식을 사용하여 접선의 방정식을 완성합니다.
y - 7 = 11(x - 2)
4단계: 방정식 정리하기
마지막으로, 위에서 세운 방정식을 y에 대한 일반적인 형태로 정리합니다.
y - 7 = 11x - 22 y = 11x - 22 + 7 y = 11x - 15
따라서 함수 y = x^3 - x + 1 에서 x=2일 때의 접선의 방정식은 y = 11x - 15 입니다.